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宜宾市高2015级（2018届）高三第二次诊断测试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则等于
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为
A． B． C． D．
3．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为的菱形组成，那么图形中的向量的数量积等于
A． B． C．8 D．7
4．某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小组积分的方差为
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是
A． B．
C． D．
6．设，则的大小顺序是
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为
A． B． C． D．
8．在各项均不为零的等差数列中，若，则
A． B．0 C．1 D．2
9．若，则
A． B．1 C． D．1或
10．某班级需要把6名同学安排到周一、周二、周三这三天值日，每天安排2名同学，已知甲不能安排到周一，乙和丙不能安排到同一天，则安排方案的种数为
A．24 B．36 C．48 D．72
11．已知双曲线上存在两点关于直线对称,且线段的中点在抛物线上，则实数的值为
A． B． C． D．
12．设是函数的极值点，数列，若表示不超过x的最大整数，则=
A．1008 B．1009 C．2017 D．2018
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设满足约束条件若，则z的最大值为_________.
14．已知正三棱锥的侧面都是直角三角形，，顶点P在底面内的射影为点Q，则点Q到正三棱锥的侧面的距离为_________.
15．若动点P在直线上，动点Q在直线上，记线段PQ的中点为，且，则的取值范围为________.
16．已知函数，偶函数的图像与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围为_________.
三、解答题：共70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一） 必考题：共60分。
17．（12分）
如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，设，其中是直线的倾斜角．
（1）求C的大小；
（2）若，
求的最小值及取得最小值时的x的值．
18．（12分）
某小组同学为了研究昼夜温差对反季节大豆发芽的影响，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差摄氏度
10
11
13
12
8
发芽颗
23
25
30
26
16
该小组所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．
（1）若选取的3组数据恰好是连续天的数据表示数据来自互不相邻的三天，求的分布列及期望；
（2）根据3月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程由所求的线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：
19．（12分）
如图，三棱柱中,，．
（1）证明：
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
在直角坐标系中，已知点(1，0)，动点P满足:．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若分别过点(-1,0)、作两条平行直线m,n，设m,n与轨迹C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形面积的最大值．
21．（12分）
已知.
（1）求的单调区间；
（2）若e（其中e为自然对数的底数），且恒成立，求的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中,椭圆的参数方程为以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求椭圆的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）若点的极坐标为,直线与椭圆交于两点，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1） 求不等式的解集；
（2）若正数满足：，求证：．
宜宾市高2015级高三第二次诊断测试题
数学（理工类）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一.选择题（每题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
A
C
B
D
A
A
B
C
B
A
12.解析：由题可知，，则
，，，，，，累加得。故。====。故选A。
二.填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
16.解析：解法1:由为偶函数得，所以
即，令，所以在和单调递减，由洛必达法则知，又因为恒成立
，所以。
解法2:,
令，由图像可知
三.解答题（共70分.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17至21题为必考题，22题和23题为选考题（二选一），请考生根据要求作答）
17.解：由题可知，所以， …………2分
又
所以 …………5分
所以 …………6分
（2） 由（1）可知 …………8分
因为，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，且 …………10分
所以当或时，取得最小值为0. …………12分
18.解：由题意知，；
则，
， …………3分
的分布列为：
0
2
3
P
数学期望为； …………6分
由题意，计算，
，
…………8分
所以
关于x的线性回归方程为； …………10分
当时，，且，
当时，，且；
所求得线性回归方程是可靠的． …………12分
19.（1）证明：因为，且O为AC的中点，所以． …………2 分
又由题意可知，平面平面ABC，平面平面，且平面平面ABC； …………6分（条件不全扣2分）
（2） 解：如图，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由题意可知，
…………7分
则有：. …………8分
设平面的一个法向量为，
则有，
令，得，所以 …………10分
所以 …………11分
因为直线与平面所成角和向量n与所成锐角互余，所以．…………12分
20.解：（1）设点，由已知可得 。 …………1分
根据椭圆定义可知点P的轨迹是以点和为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为 …………4分
2设直线，它与轨迹C的另一个交点为D．由椭圆的对称性知
…………5分
与C联立，消去x，得， …………7分
…………8分
又到的距离为, …………9分
所以.令，则，因为在上单调递增
所以当时，的最大值为。
所以四边形面积的最大值为 …………12分
21.解：由，得 …………1分
（ⅰ）当时，恒成立，在上单调递增； …………2分
（ⅱ）当时，解得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减。 …………4分
（2）当时，，
令，则， …………5分
由（1）可知，当时，在上单调递增，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时取得最大值。 …………6分
所以恒成立，即，整理得即。令，， …………8分
令，，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时取得最大值为， …………10分
因为当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，所以的最大值为。 …………12分
22. 解：（I）将椭圆的参数方程为消去参数可得椭圆的普通方程 将 代入得,
化简得椭圆的极坐标方程为 …………3分
将代入可得直线的方程为,
故直线的参数方程为 …………5分
（II）设 对应的参数分别为,将直线的参数方程为代入得,则 ,不妨取,
又在直线上， …………10分
23.解：此不等式等价于或或
解得或或．
即不等式的解集为． …………5分
证明：，即，
当且仅当即时取等号． …………7分
，
当且仅当，即时，取等号．
． …………10分
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