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2018年普通高等学校招生全国统一考试
广东省文科数学模拟试卷（一）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
3. “常数是2与8的等比中项”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知是双曲线的一个焦点，点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．2
6. 等差数列的第四项等于（ ）
A．3 B．4 C. D．
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C. D．
8.已知曲线，则下列结论正确的是 （ ）
A．把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
B．把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
C. 把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
D．把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）
A．是偶数， B．是奇数，
C. 是偶数， D．是奇数，
10.已知函数在其定义域上单调递减，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C. D．
11.已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为 （ ）
A． B． C. D．
12.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知单位向量的夹角为30°，则 ．
14.设满足约束条件，则的最大值为 ．
15.已知数列的前项和为，且，则 ．
16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.在中，角所对的边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）若，求的面积.
18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数/步
10000以上
男生人数/人
1
2
7
15
5
女性人数/人
0
3
7
9
1
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.
（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；
积极性
懈怠性
总计
男
女
总计
附：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.
19.如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
20.已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.
21. 已知函数.
（1）证明：当时，函数在上是单调函数；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.
（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCBAC 6-10: ABBDA 11、12：CB
二、填空题
13. 1 14. 2 15. 14 16.
三、解答题
17.解：（1）因为，所以，
又因为，
所以，
即.
（2）因为，所以，
由正弦定理，可得，
，
所以.
18.解：（1）根据题意完成下面的列联表：
积极性
懈怠性
总计
男
20
10
30
女
12
8
20
总计
32
18
50
根据列联表中的数据，得到，
所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；
（2）设步行数在中的男性的编号为1，2，女性的编号为.
选取三位的所有情况为：共有10种情形，
符合条件的情况有：共3种情形.
故所求概率为.
19.（1）证明：由题可得，则，
又，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面；
（2）解：
过点作交于点，连结，则平面，，
又，所以平面，
易得，则，得，
设点到平面的距离为，
因为，
又因为于，所以平面，故，
又因为，
所以，故点到平面的距离为2.
20.解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，
故可设直线的方程为，点的坐标分别为，
由，消去得，
则，且，
故，
又直线的斜率成等比数列，则，
即，所以，
又，所以，又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值.
21.解：（1），
令，则，
则当时，，当时，，
所以函数在取得最小值，，
故，即在上是单调递增函数；
（2）当时，，即，
令，则，
令，则.
当时，单调递增，，
则当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增.
所以，所以.
22.解：（1）因为圆的普通方程为，
把代入方程得，
所以的极坐标方程为，
的平面直角坐标系方程为；
（2）分别将代入，得，
则的面积为.
23.解：（1）由题意可得，
当时，，得，无解；
当时，，得，即；
当时，，得，
综上，的解集为.
（2）因为存在，使得成立，
所以，
又，
由（1）可知，则，
所以，解得.
故的取值范围为.
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