江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题（有附加题）Word版含答案.doc

www.ks5u.com ‎2018届高三第二次调研测试 南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1． 已知集合，则 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎2． 已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图 i < 4‎ i←i + 1‎ 结 束 N Y ‎（第4题）‎ S←S×5‎ 输出S 开始 S←1‎ i←1‎ ‎ 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．‎ 成绩/分 ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎（第3题）‎ ‎【答案】30‎ ‎4． 如图是一个算法流程图，则输出的的值为 ▲ ． ‎ ‎ 【答案】125‎ ‎5． 在长为‎12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于‎32 cm2的概率为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】 ‎6． 在中，已知，则的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎7． 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过 点，则双曲线的焦距为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ‎ ，，则的值为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎9． 设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎10．已知均为正数，且，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】8‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面 ‎ 区域内，则面积最大的为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，‎ ‎ 则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎13．在平面四边形中，已知，则的值为 ▲ ．‎ ‎ 【答案】10‎ ‎14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ 填空题要求：‎ 第6题：答案写成，复合根式也算正确。‎ 第11题：题目要求“圆的标准方程”，写成圆的一般方程不给分，不配方不给分。‎ 第12题：写成或者也算正确。‎ 第14题：两解缺一不可，只有一个正确不给分。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，设向量，，‎ ‎．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设，，且，求的值．‎ 解：（1）因为，，，‎ 所以，‎ 且． …… 2分 ‎ 因为，所以，即a2 + ‎2 ab + b2 = 1， ………4分 ‎ 所以，即． …… 6分 ‎ （2）因为，所以．‎ ‎ 依题意，． …… 8分 ‎ 因为，所以． ……10分 ‎ 化简得，，所以． …… 12分 ‎ 因为，所以．‎ ‎ 所以，即． …… 14分 注意：1.与a2 + 2 ab + b2 = 1， 每个2分，没有先后顺序。‎ ‎2.不写“”扣1分。‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ A A1‎ B1‎ C1‎ B C F E ‎（第16题）‎ 如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB = AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异 于端点），且∠ABE=∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．‎ 求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）BC // 平面AEF．‎ ‎ ‎ ‎ 证明：（1）在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，BB1 // CC1． ‎ ‎ 因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1． …… 2分 ‎ 又AE⊥BB1，AEAF，AE，AF平面AEF，‎ ‎ 所以BB1⊥平面AEF． …… 5分 ‎ 又因为BB1平面BB‎1C1C，所以平面AEF⊥平面BB‎1C1C． …… 7分 ‎ （2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE =∠ACF，AB = AC，‎ ‎ 所以△AEB ≌△AFC．‎ ‎ 所以BE = CF． …… 9分 ‎ 又由（1）知，BE // CF．‎ ‎ 所以四边形BEFC是平行四边形． ‎ ‎ 从而BC // EF． …… 11分 ‎ 又BC平面AEF，EF平面AEF，（三个条件缺一不可）‎ ‎ 所以BC // 平面AEF． …… 14分 注意：1.缺少“在三棱柱ABC-A1B1C1中”或者写成“由题意知”都不行，没有就扣掉7分，采取“突然死亡法”，严格标准；‎ ‎2.“5分点”中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值，共计5分。‎ ‎ 3.“14分点”中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分，共计3分。‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是 椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（第17题）0‎ B1‎ B2‎ P Q OP x y ‎（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．‎ ‎ ‎ 解：设，．‎ ‎ （1）在中，令，得，从而b = 3． …… 2分 ‎ 由 得．‎ ‎ 所以． …… 4分 ‎ 因为，所以，解得．‎ ‎ 所以椭圆的标准方程为． …… 6分 ‎ （2）方法一：‎ ‎ 直线PB1的斜率为，‎ ‎ 由所以直线QB1的斜率为．‎ ‎ 于是直线QB1的方程为：． ‎ ‎ 同理，QB2的方程为：． …… 8分 ‎ 联立两直线方程，消去y，得． …… 10分 ‎ 因为在椭圆上，所以，从而．‎ ‎ 所以． …… 12分 ‎ 所以． …… 14分 ‎ 方法二：‎ ‎ 设直线PB1，PB2的斜率为k，，则直线PB1的方程为．‎ ‎ 由直线QB1的方程为．‎ ‎ 将代入，得，‎ ‎ 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以，从而．…… 8分 ‎ ‎ 因为在椭圆上，所以，从而．‎ ‎ 所以，得． …… 10分 ‎ 由，所以直线的方程为．‎ ‎ 联立 则，即． …… 12分 ‎ 所以． …… 14分 ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分16分） ‎ 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：‎ 方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为 圆柱的两个底面；‎ 方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方 形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．‎ ‎ （1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；‎ ‎（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？‎ l1‎ l 2‎ A B C ‎（第18题）0‎ 解：（1）设所得圆柱的半径为 dm，‎ ‎ 则， …… 4分 ‎ ‎ 解得． …… 6分 ‎ （2）设所得正四棱柱的底面边长为 dm，‎ ‎ 则即 …… 9分 ‎ 方法一：‎ ‎ 所得正四棱柱的体积 ……11分 ‎ 记函数 ‎ 则在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎ 所以当时，．‎ ‎ 所以当，时， dm3． …… 14分 ‎ 方法二：‎ ‎ ，从而． ……11分 ‎ 所得正四棱柱的体积． ‎ ‎ 所以当，时， dm3． …… 14分 ‎ 答：（1）圆柱的底面半径为 dm；‎ ‎ （2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． …… 16分 注意：‎ ‎1.直接“由得，时正四棱柱的体积最大”，只给结果得分，即2分；‎ ‎2.方法一中的求解过程要体现，凡写成的最多得5分，‎ ‎ 方法二类似解答参照给分．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．‎ 记（i = 1，2，3，4）．‎ ‎ （1）求证：数列不是等差数列；‎ ‎ （2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；‎ ‎ （3）数列能否为等比数列？并说明理由．‎ 解：（1）假设数列是等差数列，‎ ‎ 则，即．‎ ‎ 因为是等差数列，所以．从而． …… 2分 ‎ 又因为是等比数列，所以．‎ ‎ 所以，这与矛盾，从而假设不成立．‎ ‎ 所以数列不是等差数列． …… 4分 ‎ （2）因为，，所以．‎ ‎ 因为，所以，即，… 6分 ‎ 由，得，所以且．‎ ‎ 又，所以，定义域为．…… 8分 ‎ （3）方法一：‎ ‎ 设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，‎ ‎ 则 …… 10分 ‎ 将①+③－2×②得， ‎ ‎ 将②+④－2×③得， …… 12分 ‎ 因为，，由⑤得，．‎ ‎ 由⑤⑥得，从而． …… 14分 ‎ 代入①得．‎ ‎ 再代入②，得，与矛盾．‎ ‎ 所以c1，c2，c3，c4不成等比数列． …… 16分 ‎ 方法二：‎ ‎ 假设数列是等比数列，则． …… 10分 ‎ 所以，即．‎ ‎ 两边同时减1得，． …… 12分 ‎ 因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，所以．‎ ‎ 又，所以，即．‎ ‎ …… 14分 ‎ 这与且矛盾，所以假设不成立．‎ ‎ 所以数列不能为等比数列． …… 16分 注意：定义域为，缺一不可，缺少一个或者写错一个均扣掉2分。 ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ 设函数．‎ ‎（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设，是的导函数．‎ ‎ ① 若对任意的，求证：存在使；‎ ‎② 若，求证：．‎ 解：（1）由题意，对恒成立， …… 1分 因为，所以对恒成立，‎ 因为，所以，从而． …… 3分 ‎（2）①，所以．‎ ‎ 若，则存在，使，不合题意，‎ ‎ 所以． …… 5分 ‎ 取，则．‎ ‎ 此时．‎ ‎ 所以存在，使． …… 8分 ‎②依题意，不妨设，令，则．‎ ‎ 由（1）知函数单调递增，所以．‎ ‎ 从而． …… 10分 ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以． ……12分 ‎ 下面证明，即证明，只要证明．‎ ‎ 设，所以在恒成立．‎ ‎ 所以在单调递减，故，从而得证．‎ ‎ 所以， 即． ……16分 注意：1.求导正确即给1分， 。‎ ‎2.（2）①中可以，也可以。‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．‎ ‎ 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ A B D C ‎（第21—A题）‎ E O 如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．‎ 求证：．‎ 证明：延长交⊙O于点E，‎ ‎ 则．…… 5分 ‎ 因为， ‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以． …… 10分 B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩 阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．‎ 解：依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．… 5分 ‎ ‎ ‎ 则，，． ‎ ‎ 所以分别变为点．‎ ‎ 从而所得图形的面积为． …… 10分 C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标 方程．‎ ‎ 解：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．‎ ‎ 则点的直角坐标为． …… 2分 ‎ 将直线：的方程变形为：，‎ ‎ 化为普通方程得，． …… 5分 ‎ 所以到直线：的距离为：． ‎ ‎ 故所求圆的普通方程为． …… 8分 ‎ 化为极坐标方程得，． …… 10分 注意：结果写成也算正确，不扣分。‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ ‎ 已知a，b，c为正实数，且，求证：．‎ 证明：因为a，b，c为正实数，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （当且仅当取“=”）． …… 10分 ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ‎ 写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．‎ ‎（第22题）‎ ‎（1）求概率；‎ ‎（2）求的概率分布及数学期望．‎ 解：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形．‎ ‎ 则事件：“”包含两类情形：‎ ‎ 第一类是3格各得奖200元；‎ ‎ 第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，‎ ‎ 其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．‎ ‎ 所以． …… 3分 ‎ ‎ （2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．‎ ‎ 则，，‎ ‎ ，．‎ ‎ 所以的概率分布列为：‎ X ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ P ‎…… 8分 ‎ 所以（元）．‎ ‎…… 10分 注意：1.只要有，就得3分，不一定非常书写很详细；‎ ‎ 2.，， ，．每个正确给1分，都正确给5分。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 已知…，．记．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．‎ ‎ 解：由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1）．‎ ‎ （1）； …… 2分 ‎ （2）因为 ‎ ‎ ‎ ， …… 4分 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． …… 8分 ‎ ．‎ ‎ 因为，所以能被整除． …… 10分 注意：只要得出，就给8分，不必要看过程。‎