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金牛区高 2015 级二诊模拟
数学试题（文科）
（时间：120 分钟 总分：150 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）
1．已知集合 A = {x | x 2 - 16 £ 0}, B = {x | lg | x - 2 |> 0} ，则 A Ç B = （ ）
A．[-4,1) È (3, 4] B． [-4, -3) È (-1, 4] C． (-4,1) È (3, 4) D． (-4, -3) È (-1, 4)
2. 已知 z 为复数 z 的共轭复数， (1 - i ) z = 2i ，则 z = ( )
A. -1 - i B. -1 + i C. 1 - i D. 1 + i
3．已知 a ， b 都是实数，那么“ 2a > 2b ”是“ a2 > b2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C D．
5 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离 都大于 2 的区域内的概率为
A． B． C D．
6.在 DABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，已知， b = a，A = 2 B ，则 cosB = （ ）
A． B． C D．
7.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定
理西方又称之为“中国剩余定理”.一元线性同余方程组问题最早可见于中 国南北朝时期（公元 5 世纪）的数学著作《孙子算经》.若正整数 N 除
以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 N º n(mod m) ，例如 83 º 5(mod 6)
若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A. 2019 B. 2023 C. 2031 D. 2047
8. 函数 y = cos(wx +)(w> 0) 的图象向右平移个单位长度后与 y = sin wx 的图象重合，则w的最小值
为（ ）
A． B． C D．
9 、 已 知 函 数f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ，f ( x +1) 为 奇 函 数 ，f (0) = 0 ， 当 x Î (0,1] 时 ，
f ( x ) = log2 x ，则在区间 (8, 9) 内满足方程 f ( x ) + 2 = f ( x+ )的实数 x 为（ ）
A． B． C D．
10、已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起使 A 位于新位置A’ ,且, 则三棱锥A’BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C D．
11. 已知⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 4，M 是△ABC 所在平面内的动点，且|OM|=1，则
的最大值为（ ）
A . 4 B . 6 C . 8 D . 10
12、已知实数 x, y 满足 3x - y £ ln ( x + 2 y - 3) + ln ( 2 x - 3 y + 5) ，则 x + y = （ ）
12 14 16 18
A. B. C. D.
5 5 7 7
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知等差数列前 15 项的和，则
14．已知向量 a =（1,
3）， | b |= 3 ，向量 a 与向量 b 的夹角为120o ，则 a × (a - b) =
ì y £ x
í
ï
15、已知 x, y 满足约束条件 ïx + y ³ 2 ，则目标函数 z = mx + y （m∈[﹣1，1]）的最大值和最小
îx £ 2
值的差等于
16.已知双曲线C: (a > 0, b > 0) ,点 A、B 在双曲线 C 的左支上，O 为坐标原点，直线BO
与双曲线的右支交于点 M. 若直线 AB 与 AM 的斜率分别为 3 和 1 ，则双曲线的离心率为
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 12 分）
在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，满足 btanA=(2c −b )tanB
（1）求角 A ；
（2）若 a =
13, b = 3 ，求△ABC 的面积．
18.（本小题满分 12 分）
某班有 30 名学生，其中有 60%的同学爱好体育锻炼。经体检调查，这 30 名同学的健康指数（百 分制）如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于 70 者为身体状况好，健康指数 低于 70 者为身体状况一般。
（1）根据以上资料完成下面的 2× 2 列联表，并判断可否有 99%的把握认为“身体状况好与爱 好体育锻炼有关系”？
身体状况好
身体状况一般
总计
爱好体育锻炼
不爱好体育锻炼
总计
30
（2）从健康指数高于 90 的 5 人中随机选取 2 人，求这两人中恰好有一人爱好体育锻炼的概率。
19 .（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体 QPABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，ÐDAB = 60° ，AD ^ DC ，AB ^ BC ，
QD ^ 平面ABCD ， PA ∥QD ， PA = 1 ， AD = AB = QD = 2 .
（1）求证：平面 PAB ^ 平面QBC ；
（2）求该组合体 QPABCD 的体积.
20.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，已知定点 A（1，0)及动点 P，以 PA 为直径的圆恒与 y 轴相切，记动点
P 的轨迹为曲线 C
（1） 求曲线 C 的方程；
（2）点 Q（x0,y0)(x0 ≥ 5)是曲线 C 上的点，过点 Q 作圆 E：（x − 2 )2 +y2=4 的两条切线， 分别与 x 轴交于 M、N 两点，求△QMN 的面积的最小值。
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) = ax - 1 - x ln x ，
（1）若函数 f (x) £ 0恒成立 求实数 a 的取值范围；
（2）当 a = 1 时，设函数 g (x) = xf (x) .在 x = x0 处取到极小值，求证：
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），以 O 为极点， x
轴的非负半轴为极轴，曲线 C2 的极坐标方程为：
r- rcos2
q- 2 cosq = 0 .
（Ⅰ）将 C1 曲线的方程化为普通方程；将曲线 C2 的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P(1,2) ，曲线 C1 与曲线 C2 的交点为 A, B ，求 PA + PB 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f ( x) = x 2 + 2, g ( x) =| x - a | - | x -1 |, a Î R ．
（1）若 a = 4 ，求不等式 f (x) > g (x)的解集；
1
2
（2）若对任意 x1 , x2 Î R ，不等式 f (x ) ³ g (x
)恒成立，求实数 a 的取值范围．
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