南通市2018届高三第二次调研测试
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，则 ▲ ．
2． 已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
i < 4
i←i + 1
结 束
N
Y
（第4题）
S←S×5
输出S
开始
S←1
i←1
3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，
则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．
成绩/分
40
50
60
70
80
90
100
0.005
0.010
0.015
0.025
0.030
（第3题）
4． 如图是一个算法流程图，则输出的的值为 ▲ ．
5． 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积
大于32 cm2的概率为 ▲ ．
6． 在中，已知，则的长为 ▲ ．
7． 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点
，则双曲线的焦距为 ▲ ．
8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点
，，则的值为 ▲ ．
9． 设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为 ▲ ．
10．已知均为正数，且，则的最小值为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域
内，则面积最大的圆的标准方程为 ▲ ．
12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数
的取值范围是 ▲ ．
13．在平面四边形中，已知，则的值为 ▲ ．
14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）设，，且，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于
端点），且∠ABE=∠ACF，AE⊥BB1，A
A1
B1
C1
B
C
F
E
（第16题）
AF⊥CC1．
求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）BC // 平面AEF．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是
椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（第17题）0
B1
B2
P
Q
OP
x
y
（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
18．（本小题满分16分）
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线
l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：
方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆
柱的两个底面；
方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形
（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
l1
l 2
A
B
C
（第18题）0
（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
19．（本小题满分16分）
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．
记（i = 1，2，3，4）．
（1）求证：数列不是等差数列；
（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；
（3）数列能否为等比数列？并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设函数．
（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，是的导函数．
① 若对任意的，求证：存在使；
② 若，求证：．
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数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置
作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
B
D
O
C
（第21—A题）
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．
求证：．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵
分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a，b，c为正实数，且，求证：．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
（第22题）
在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张
如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，
点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．
（1）求概率；
（2）求的概率分布及数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知…，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
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数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 已知集合，则 ▲ ．
【答案】
2． 已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．
【答案】
3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图
i < 4
i←i + 1
结 束
N
Y
（第4题）
S←S×5
输出S
开始
S←1
i←1
所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．
成绩/分
40
50
60
70
80
90
100
0.005
0.010
0.015
0.025
0.030
（第3题）
【答案】30
4． 如图是一个算法流程图，则输出的的值为 ▲ ．
【答案】125
5． 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为 ▲ ．
【答案】
6． 在中，已知，则的长为 ▲ ．
【答案】
7． 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过
点，则双曲线的焦距为 ▲ ．
【答案】
8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点
，，则的值为 ▲ ．
【答案】
9． 设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为
▲ ．
【答案】
10．已知均为正数，且，则的最小值为 ▲ ．
【答案】8
11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面
区域内，则面积最大的圆的标准方程为 ▲ ．
【答案】
12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，
则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
13．在平面四边形中，已知，则的值为 ▲ ．
【答案】10
14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，设向量，，
．
（1）若，求的值；
（2）设，，且，求的值．
解：（1）因为，，，
所以，
且． …… 3分
因为，所以，即a2 + 2 ab + b2 = 1，
所以，即． …… 6分
（2）因为，所以．
依题意，． …… 8分
因为，所以．
化简得，，所以． …… 12分
因为，所以．
所以，即． …… 14分
16．（本小题满分14分）
A
A1
B1
C1
B
C
F
E
（第16题）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异
于端点），且∠ABE=∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．
求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）BC // 平面AEF．
证明：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1 // CC1．
因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1． …… 2分
又AE⊥BB1，AEAF，AE，AF平面AEF，
所以BB1⊥平面AEF． …… 5分
又因为BB1平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C． …… 7分
（2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE =∠ACF，AB = AC，
所以△AEB ≌△AFC．
所以BE = CF． …… 9分
又由（1）知，BE // CF．
所以四边形BEFC是平行四边形．
从而BC // EF． …… 11分
又BC平面AEF，EF平面AEF，
所以BC // 平面AEF． …… 14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是
椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
（第17题）0
B1
B2
P
Q
OP
x
y
解：设，．
（1）在中，令，得，从而b = 3．
…… 2分
由 得．
所以． …… 4分
因为，
所以，解得．
所以椭圆的标准方程为． …… 6分
（2）方法一：
直线PB1的斜率为，
由所以直线QB1的斜率为．
于是直线QB1的方程为：．
同理，QB2的方程为：． …… 8分
联立两直线方程，消去y，得． …… 10分
因为在椭圆上，所以，从而．
所以． …… 12分
所以． …… 14分
方法二：
设直线PB1，PB2的斜率为k，，则直线PB1的方程为．
由直线QB1的方程为．
将代入，得，
因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以，从而．…… 8分
因为在椭圆上，所以，从而．
所以，得． …… 10分
由，所以直线的方程为．
联立 则，即． …… 12分
所以． …… 14分
18．（本小题满分16分）
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿
虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：
方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为
圆柱的两个底面；
方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方
形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
l1
l 2
A
B
C
（第18题）0
解：（1）设所得圆柱的半径为 dm，
则， …… 4分
解得． …… 6分
（2）设所得正四棱柱的底面边长为 dm，
则即 …… 9分
方法一：
所得正四棱柱的体积 ……11分
记函数
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，．
所以当，时， dm3． …… 14分
方法二：
，从而． ……11分
所得正四棱柱的体积．
所以当，时， dm3． …… 14分
答：（1）圆柱的底面半径为 dm；
（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． …… 16分
【评分说明】
①直接“由得，时正四棱柱的体积最大”给2分；
②方法一中的求解过程要体现，凡写成的最多得5分，
其它类似解答参照给分．
19．（本小题满分16分）
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．
记（i = 1，2，3，4）．
（1）求证：数列不是等差数列；
（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；
（3）数列能否为等比数列？并说明理由．
解：（1）假设数列是等差数列，
则，即．
因为是等差数列，所以．从而． …… 2分
又因为是等比数列，所以．
所以，这与矛盾，从而假设不成立．
所以数列不是等差数列． …… 4分
（2）因为，，所以．
因为，所以，即，…… 6分
由，得，所以且．
又，所以，定义域为．…… 8分
（3）方法一：
设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，
则 …… 10分
将①+③－2×②得，
将②+④－2×③得， …… 12分
因为，，由⑤得，．
由⑤⑥得，从而． …… 14分
代入①得．
再代入②，得，与矛盾．
所以c1，c2，c3，c4不成等比数列． …… 16分
方法二：
假设数列是等比数列，则． …… 10分
所以，即．
两边同时减1得，． …… 12分
因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，所以．
又，所以，即．
…… 14分
这与且矛盾，所以假设不成立．
所以数列不能为等比数列． …… 16分
20．（本小题满分16分）
设函数．
（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设，是的导函数．
① 若对任意的，求证：存在使；
② 若，求证：．
解：（1）由题意，对恒成立，
因为，所以对恒成立，
因为，所以，从而． …… 3分
（2）①，所以．
若，则存在，使，不合题意，
所以． …… 5分
取，则．
此时．
所以存在，使． …… 8分
②依题意，不妨设，令，则．
由（1）知函数单调递增，所以．
从而． …… 10分
因为，所以，
所以．
所以． ……12分
下面证明，即证明，只要证明．
设，所以在恒成立．
所以在单调递减，故，从而得证．
所以， 即． ……16分
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
A
B
D
C
（第21—A题）
E
O
如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．
求证：．
证明：延长交⊙O于点E，
则．…… 5分
因为，
所以．
所以． …… 10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩
阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．
解：依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．
…… 5分
则，，．
所以分别变为点．
从而所得图形的面积为． …… 10分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标
方程．
解：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．
则点的直角坐标为． …… 2分
将直线：的方程变形为：，
化为普通方程得，． …… 5分
所以到直线：的距离为：．
故所求圆的普通方程为． …… 8分
化为极坐标方程得，． …… 10分
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a，b，c为正实数，且，求证：．
证明：因为a，b，c为正实数，
所以
（当且仅当取“=”）． …… 10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
（第22题）
在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100
元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．
（1）求概率；
（2）求的概率分布及数学期望．
解：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形．
则事件：“”包含两类情形：
第一类是3格各得奖200元；
第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，
其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．
所以． …… 3分
（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．
则，，
，．
所以的概率分布列为：
X
300
400
500
600
700
P
…… 8分
所以（元）．
…… 10分
23．（本小题满分10分）
已知…，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
解：由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1）．
（1）； …… 2分
（2）因为
， …… 4分
所以
． …… 8分
．
因为，所以能被整除． …… 10分
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