第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形(1)
A 练就好基础 基础达标
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A )
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图所示，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为24 cm，则这个矩形的一条较短边为( C )
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
3．若矩形的对角线长为4 cm，一条边长为2 cm，则此矩形的面积为( B )
A．8 cm2 B．4 cm2
C．2 cm2 D．8 cm2
4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( C )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
第4题图
第5题图
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积是( A )
A．3 B．4 C．6 D．12
6．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是__2.5__ cm.
7．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE.若∠DCE∶∠ECB＝3∶1，则∠ACE＝__45°__.
第7题图
第8题图
8．如图所示，将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABC′D′的形状，并使其面积为长方形面积的(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__45__度．
解：过点C′作AB的垂线，垂足是点E，如图所示：
∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABC′D′的形状，并使其面积为矩形木框的，∴C′E＝BC＝BC′，
∴BC′＝C′E，∴∠C′BE＝∠D′AB＝45°.
9．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)求证：∠ACD＝∠ABD.
(2)若矩形ABCD的面积为120 cm2，周长为46 cm，求AC的长．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，易得∠DCB＝∠ABC＝90°，
OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DCB－∠OCB＝∠ABC－∠OBC，
∴∠ACD＝∠ABD.
(2)在Rt△ABC中，AC＝＝17.
10．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长度．
第10题图 第10题答图
解：如图，连结AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD，
∴∠E＝∠DAE.
又∵BD＝CE，∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE.
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°，
∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝2，
∴AD＝＝.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( A )
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
12．如图所示，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF长度的最小值是__2.4__．
第12题图
第13题图
13．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数是__75°__．
14．2018·威海矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，求GH的长．
第14题图 第14题答图
解：如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2，GF＝CE＝1，
∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH.
又∵H是AF的中点，∴AH＝FH.
在△APH和△FGH中，
∵
∴△APH≌△FGH(ASA)，
∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，
∴PD＝AD－AP＝1.
∵CG＝2，CD＝1，∴DG＝1，
∴GH＝PG＝×＝.
15．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.
求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD,
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，
∴∠BEF＋∠CED＝90°.
∴∠BFE＝∠CED.
又∵EF＝ED，
∴△EBF≌△DCE(AAS)．
∴BE＝CD.
∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°.
∴∠EAD＝45°.
∴∠BAE＝∠EAD.
∴AE平分∠BAD.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，四边形ABCD是矩形，P是矩形外一点，且PA＝PB.
(1)求证：PD＝PC.
(2)若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，则矩形ABCD的面积为________．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°.
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PAD＝∠PBC.
在△APD和△BPC中，∵
∴△APD≌△BPC(SAS)，
∴PD＝PC.
(2)2(S1－S2)
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