5.1 矩形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( D )
A．AO＝OC B．BD平分∠ABC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
2．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是( D )
A．对角线互相平分 B．AB＝BC
C．AB＝AC D．∠A＋∠C＝180°
3．已知ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( C )
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
5．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是( D )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°
C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°
D．AB＝CD，AC＝BD
6．满足__一个角为直角__或__对角线相等__的平行四边形是矩形．
7．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，过点D分别作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于点E，F.如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：__∠BAC＝90°__．
8．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE＝AB.
求证：四边形CFED是矩形.
证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC，DF＝AB，CF＝BC，
∴DE＝CF，∴四边形CFED是平行四边形．
又∵CE＝AB，∴CE＝DF，
∴平行四边形CFED是矩形．
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE＝60°，AE＝4，则AC＝__8__．
解：(1)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AE綊BD，∵CD＝BD，
∴AE綊CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，∴DE＝AC.
∴四边形ADCE是矩形．
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( C )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝DC
11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连结BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__5或6__.
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动的过程中，a不断变化，则a的取值范围是__4≤a≤5__．
13．如图所示，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连结
BF，AF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AD＝DF，求证：AF平分∠BAD.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，即BE∥DF.
∵CF＝AE，∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
(2)由(1)可知AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD.
∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠AFD，
∴∠BAF＝∠DAF.
即AF平分∠BAD.
C 开拓新思路 拓展创新
14．桌面上有两块全等的三角板ABC和DEF，∠ABC＝∠DFE＝90°，∠ACB＝∠DEF＝30°，AB＝.
(1)若按如图1放置(边EF与BC重合)，求证：四边形ABDC是平行四边形；
(2)将三角板ABC沿EF所在的直线向右平移1个单位长度(如图2)，此时，四边形AEDC是矩形吗？请说明理由．
证明：(1)∵△ABC≌△DFE，∴AB＝DF，AC＝DE，∴四边形ABDC是平行四边形．
(2)是矩形，理由：∵AB＝DF，∠ABE＝∠DFC＝90°，EB＝CF，
∴△ABE≌△DFC，∴AE＝DC，又∵AC＝DE，∴四边形AEDC为平行四边形．∵DC＝＝2，DE＝2，EF＝＝＝3，CE＝1＋3＝4，
∴DC2＋DE2＝4＋12＝16＝CE2，
∴∠EDC＝90°，即AEDC为矩形．
15．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，且MA＝MC.若∠AMD＝2∠MCD.
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA.
在△AMD和△CMN中，
∵
∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．
∵∠AMD＝2∠MCD且∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC.
∵四边形ADCN为平行四边形，
∴AC＝2CM，DN＝2MD，
∴AC＝DN，∴ADCN是矩形．
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