2019高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量课后篇巩固探究含解析北师大版必修4.doc

‎§5　从力做的功到向量的数量积 课后篇巩固探究 A组　基础巩固 ‎1.若向量a,b满足|a|=3,a·b=-5,则b在a方向上的射影等于(　　)‎ A.15 B.- C.- D.-15‎ 解析b在a方向上的射影为|b|cos θ==-.‎ 答案C ‎2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于(　　)‎ A. B. C.- D.-‎ 解析由m⊥n,得m·n=0,‎ 由(m+kn)⊥(m-3n),得(m+kn)·(m-3n)=0,‎ 即|m|2-3k|n|2=0,‎ ‎∴3k==4,‎ ‎∴k=.‎ 答案A ‎3.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案A ‎4.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为(　　)‎ A.0 B. C. D.‎ 解析∵c=a-b,‎ ‎∴a·c=a·a-·a·b=0,‎ ‎∴a与c的夹角为.‎ 答案D ‎5.如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则()·()等于(　　)‎ - 6 -‎ A. B.-‎ C. D.-‎ 解析∵点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,‎ ‎∴||=||=||=,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,‎ ‎∴()·()=+3cos=-.‎ 答案D ‎6.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则等于(　　)‎ A. B.6 ‎ C.12 D.18‎ 解析如图,过点O作OD⊥AB于点D,易知AD=AB=3,则=()·=3×6+0=18,故选D.‎ 答案D ‎7.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为　　　　　. ‎ 解析设a与b的夹角为θ,由已知得a2=a·b,‎ 又|a|=1,|b|=,‎ ‎∴1·cos θ=1.‎ ‎∴cos θ=.‎ 又θ∈[0°,180°],‎ ‎∴θ=45°.‎ 答案45°‎ ‎8.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为　　　　　　　. ‎ - 6 -‎ 解析由=8,得16×cos A=8,即cos A=,∠A=60°,又AB=AC,所以△ABC是等边三角形.‎ 答案等边三角形 ‎9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+3b|=　　　　　. ‎ 解析∵|a+3b|2=a2+2a·3b+9b2‎ ‎=1+6×1×2×cos 60°+9×4=43,‎ ‎∴|a+3b|=.‎ 答案 ‎10.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值:‎ ‎(1)a·b;‎ ‎(2)(2a+b)·(a-2b);‎ ‎(3)|2a-3b|.‎ 解(1)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2,‎ ‎∴a·b=×(|a+b|2-|a|2-|b|2)=×(21-42-52)=-10.‎ ‎(2)(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×42-3×(-10)-2×52=12.‎ ‎(3)|2a-3b|=‎ ‎=.‎ ‎11.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?‎ 解∵a+b+c+d=0,‎ ‎∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,‎ 即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.‎ 又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,‎ 即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ①‎ 同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ②‎ ‎①-②,得|b|2=|d|2,‎ ‎①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.‎ 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.‎ ‎∵,∴a=-c.‎ 又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,‎ - 6 -‎ 即b·(2a)=0.∴a·b=0,‎ ‎∴.故四边形ABCD为正方形.‎ B组　能力提升 ‎1.若=0,则△ABC为(　　)‎ A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 解析∵=0,∴=0,‎ ‎∴·()=0,‎ ‎∴=0,∴,‎ ‎∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.‎ 答案A ‎2.在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则=(　　)‎ A.6 B.-6 C.12 D.-12‎ 解析如图,设AB的中点为M,则=()·)·()=)=-6.‎ 答案B ‎3.下列四个命题:①若a-b=0,则a=b;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若λ∈R且λa=0,则λ=0或a=0;④对任意两个单位向量e1,e2,都有e1·e2≤1.其中正确的命题是(　　)‎ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④‎ 解析①是正确的;因为a·b=|a||b|cos θ=0⇒|a|=0或|b|=0或cos θ=0⇒a=0或b=0或θ=90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ≤1,故④是正确的.‎ 答案C ‎4.设a,b是非零向量,x∈R,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有(　　)‎ A.a⊥b B.a∥b ‎ C.|a|=|b| D.|a|≠|b|‎ 解析f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b.‎ ‎∵f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b.‎ 答案A ‎5.在矩形ABCD中,AB=,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值是(　　)‎ A.-5- B.5+ C.4+ D.5-‎ - 6 -‎ 解析如图所示,过点F作FG∥AD交AB于点G,易知=||·||·cos∠BAF=||·||=,故||==1,‎ 所以=()·()==0-×(-1)+2×4+0=5+,故选B.‎ 答案B ‎6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=4,设=b,=a,=c,则a·b+b·c+c·a的值为　　　　　. ‎ 解析由勾股定理得BA=5,又cos B=,cos A=,故a·b+b·c+c·a=0+3×5×+4×5×=-25.‎ 答案-25‎ ‎7.平面上三个向量满足||=1,||=,||=1,=0,则的最大值是　　　　　. ‎ 解析=()·()=-()·=1-||·||cos θ=1-2cos θ,其中θ为向量的夹角,当θ=π时,取得最大值3.‎ 答案3‎ ‎8.导学号93774076已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b夹角的余弦值.‎ 解p·q=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.‎ ‎∵|p|=|a+b|=‎ ‎=,‎ ‎|q|=|a-b|=‎ ‎==1,‎ 设p与q的夹角为θ,‎ ‎∴cos θ=.‎ ‎9.导学号93774077证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.‎ - 6 -‎ 证明设平行四边形为ABCD,则=()2=+2. ①‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎=()2=-2. ②‎ 由①+②,得=2()=.‎ 故平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.‎ - 6 -‎