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2018年上海市崇明县高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a= ．
2．抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．
3．不等式＜0的解是 ．
4．若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．
5．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）
6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．
7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a= ．
8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为 cm2．
9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a= ．
10．（5分）若无穷等比数列{an}的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a﹣，且 Sn=a，则a= ．
11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A． B． C． D．
14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（ ）
A．＜ B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b
15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，
（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小．
18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；
（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．
19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 f （n）的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．
（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；
（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；
（3）若a=2，且kOA•kOB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．
21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成
立，则称函数f（x）在其定义域 D上是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，
∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，
∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，
∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，
∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，
∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
V===．
（2）∵BD∥B1D1，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．
∵BD=，A1D=A1B==2，
∴cos∠A1BD===．
∴∠A1BD=arccos．
∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos．
18．解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；
（2）由f（）=，即2sin（A+）=
可得sin（A+）=
∵0＜A＜π
∴＜A＜
∴A=或
∴A=或
当A=时，cosA==
∵a=，b=，
解得：c=4
当A=时，cosA==0
∵a=，b=，
解得：c=2．
19．解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；
当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．
从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利．
20．解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，
∴△MF1F2为等腰直角三角形，
∴OF1=OM，
当a＞1时，=1，解得a=，
当0＜a＜1时，=a，解得a=，
（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），
由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，
∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，
∴•=0，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0
∴m2（a2+1）=2a2，
（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，
设A（x1，y1），（x2，y2），
∵kOA•kOB=﹣，
∴•=﹣，
∴x1x2=﹣4y1y2，
由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．
∴x1+x2=，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=++m2=，
∴=﹣4×，
∴2m2﹣4k2=1，
∴|AB|=•=•
=2•=
∵O到直线y=kx+m的距离d==，
∴S△OAB=|AB|d==•==1
21．解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，
不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．
∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，
∴k的最小值为 ．
（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），
令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，
而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，
∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．
证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，
则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．
若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．
若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．
综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．
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