第4节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与易错提醒]
1.函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a＞0)
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3.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A.－ B.
C. D.－
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.
答案 B
3.(2019·金华十校调研)下列函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A.y＝cos x B.y＝1－x2
C.y＝log2|x| D.y＝ex－e－x
解析 y＝cos x是偶函数，在(0，＋∞)上不具有单调性，所以选项A错误；y＝1－x2是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以选项B错误；y＝log2|x|是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，所以选项C正确；令f(x)＝ex－e－x，则f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以y＝ex－e－x是奇函数，所以选项D错误，故选C.
答案 C
4.若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2 020)＋f(2 019)＝( )
A.－2 020 B.0
C.1 D.2 020
解析 因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(－1)＝f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，且f(0)＝0，而f(2 020)＝f(2×1 010＋0)＝f(0)＝0，f(2 019)＝f(2×
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1 009＋1)＝f(1)＝0，故选B.
答案 B
5.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.
答案 3
6.设a>0且a≠1，函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，g(f(2))＝________.
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x0，
∴g(f(2))＝g＝2－2－＋1＝2－2－＝2－.
答案 2 2－
考点一 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
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∴x－20时，－x0且a≠1)，则函数f(x)的奇偶性( )
A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关
C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析 (1)函数f(x)＝＋b的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＋b＝＋b.当b＝1时，易知函数f(x)为奇函数，当b≠1时，函数f(x)为非奇非偶函数，所以函数f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关，故选D.
(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝
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－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.
答案 (1)D (2)C
考点二 函数奇偶性的应用
【例2】 (1)(一题多解)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__________.
(2)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析 (1)法一 令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x).
∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).
∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二 f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
(2)f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
答案 (1)12 (2)1
规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.
【训练2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A.－3 B.－1
C.1 D.3
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2(x>0)，若f(a－2)≥0，则a的取值范围为( )
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A.[2－，2]∪[2＋，＋∞)
B.[2－，2＋]
C.[2－，2]
D.[2＋，＋∞)
解析 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝
(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
(2)函数f(x)的图象如图
所示，由题可知f(0)＝0且f()＝0，则－≤a－2≤0或a－2≥，解得2－≤a≤2或a≥2＋，故选A.
答案 (1)C (2)A
考点三 函数的周期性及其应用
【例3】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝__________.
解析 ∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.
又当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.
∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝
f(2 018)＋f(2 019)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.
答案 1 010
规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
【训练3】 (1)(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，
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f(x)＝则f(f(15))的值为________.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
解析 (1)因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.
(2)f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案 (1) (2)2.5
考点四 函数性质的综合运用
【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足
f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0
C.2 D.50
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3 a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是( )
A.(0，3] B.
C. D.[1，3]
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f
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(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.
法二 由题意可设
f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2，故选C.
(2)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在
(－∞，0]上单调递增.因为f(log3 a)＋f(log a)≥2f(1)，所以f(log3 a)＋f(－log3 a)＝2f(log3 a)≥2f(1)，即f(log3 a)≥f(1)＝f(－1)，所以－1≤log3 a≤1，解得≤a≤3，故选C.
答案 (1)C (2)C
规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【训练4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A.－1 B.1
C.0 D.2
(2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.
则M＋m＝________.
解析 (1)由题意，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x).
由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，∴f(－x－1)＝－f(x－1).
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由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，
∴f(－x－1)＝f[－(x＋1)]＝f(x＋1)，∴f(x＋1)＝
－f(x－1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.
(2)f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，又x∈R.
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
故M＋m＝2.
答案 (1)C (2)2
基础巩固题组
一、选择题
1.(2019·嵊州适考)函数f(x)＝ln (a，b∈R，且ab≠0)的奇偶性( )
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，但与b有关
D.与a无关，且与b无关
解析 易知f(x)的定义域关于原点对称，因为f(－x)＝ln ＝－ln
＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其奇偶性与a，b均无关，故选D.
答案 D
2.已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解析 由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x
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＝1对称，C正确，D错误；又f′(x)＝－＝(0
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