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2017-2018学年长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研
数 学 试 卷
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则______________.
2．不等式的解集为___________________.
3．已知，则__________.
4．_____________.
5．已知球的表面积为，则该球的体积为____________.
6. 已知函数，是函数的反函数，若的图
像过点，则的值为_____________.
7．若数列为等比数列，且，则__________.
8．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，
则___________.
9．若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于，则该展开式中常数项的
值为____________.
10．已知函数是定义在上且周期为的偶函数．当时，
，则的值为__________.
11．已知数列的前项和为，且,（），若,
则数列的前项和_______________.
12．若不等式对满足的任意实数，恒成立，则实数的
最大值为_____________.
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设角的始边为轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“”的…（ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，
则下列命题一定正确的是……………………………………………………………（ ）．
（A）与、都不相交 （B）与、都相交
（C）至多与、中的一条相交 （D）至少与、中的一条相交
15．对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹
角．若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；
③和的值都在集合中．则的值为…………（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．已知函数且，，
…．则满足方程的根的个数为……………………………（ ）．
（A）个 （B）个 （C）个 （D）个
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，设长方体中，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，，，求△的面积．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽．
（1）设，试将表示为的函数；
O
A
C
B
D
E
（2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知函数．
（1）求证：函数是偶函数；
（2）设，求关于的函数在时的值域
的表达式；
（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列满足：，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；
（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列．
2017-2018学年长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷
参考答案与评分标准
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2． 3．
4． 5． 6．
7． 8． 9．
10． 11．或 12．
二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．A 14．D 15．B 16．C
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）因为平面，所以就是四棱锥的高．
， ……………………………………………………………（3分）
，所以． …………………………（6分）
故四棱锥的体积为．
（2）连结、，因为∥，且，所以四边
形是平行四边形，所以∥．故或其补角就是
异面直线与所成的角． …………………………………（2分）
在△中，，，
． ……………………………………………（4分）
所以，． …………………………………（7分）
所以，异面直线与所成角的大小为． ……………………………（8分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）设（），则 …………………………（3分）
解得或 ………………………………………………………（5分）
所以或． ……………………………………………………………（6分）
（2）由（1）知，时，，， …………………………（1分）
所以，，，， ………………………………………（2分）
． …………………………………………………………（4分）
当时，，， ……………………………………（5分）
所以，，，， ……………………………………（6分）
． ……………………………………………………………（8分）
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）， ． ………………………………（２分）
，． …………（6分）
（2）设，，则，……（2分）
所以，，此时． ………………………………（4分）
任取、，且，，
因为、，且，所以，，
故，即在时是减函数，所以．……（7分）
最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为． …………………………（8分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
（1）函数的定义域为，
对任意，，
所以，函数是偶函数． ………………………………………………（4分）
（2），………………（1分）
令，因为，所以，故，
原函数可化为，，
图像的对称轴为直线，
当时，函数在时是增函数，
值域为； …………………………………………………………（3分）
当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为． ……………………………………………………………（5分）
综上，
（3）由，得， …………………………（1分）
当时，，所以，所以，
所以，恒成立．……………………………（3分）
令，则，，
由，得，所以，． ………………（6分）
所以，，即的取值范围为． …………………………………（7分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
（1）因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列． ………………………………（2分）
所以，，又由题意，，
所以（）． …………………………………………（4分）
（2）由，得，
故，即数列是首项为，公差为的等差数列，……（2分）
所以，，令，，得，．
若为等差数列，则，解得． ………………………………（4分）
当时，，，为等差数列．
所以，当时，数列为等差数列． …………………………………………（6分）
（3），，先证数列满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列中的项． ………………………………………………………（2分）
令，则只需证即可． ……………………………………（3分）
此时，，故． …………（6分）
所以，此数列中的第项是数列中的第项．…（7分）
（也可以用数学归纳法证明能被整除，证明如下）
① 当时，，能被整除； ……………………………………（4分）
② 假设当（）时结论成立，即能被整除，
那么当时，，
因为与都能被整除，所以也能被整除，
即时，结论也成立． ……………………………………（6分）
由①、②知，当时，能被整除． ……………………………………（7分）
因此，以为首项，，，…，，…为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证．
…………………………（8分）
（注：还可由，用二项展开式证明能被整除）
（一
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