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2018届高三模拟考试试卷(四)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
1. 柱体的体积公式：V＝Sh，其中S是柱体的底面面积，h是高．
2. 圆锥的侧面积公式：S＝cl，其中c是圆锥底面的周长，l是母线长．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x2－x＝0}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________．
2. 已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的模为________．
3. 函数y＝的定义域为________．
4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为________．
a←0
b←1
I←2
While I≤6
a←a＋b
b←a＋b
I←I＋2
End While
Print b
(第4题) (第5题)
5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如
图)，则成绩在[250，400)内的学生共有________人．
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．
7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．
8. 已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3 cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.
9. 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．
10. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：xy＝上任意一点P到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为________．
11. 已知等差数列满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．
13. 已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．
14. 如图，在△ABC中，已知AB＝3 , AC＝2 , ∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，则·的值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A＝，tan(B－A)＝.
(1) 求tan B的值；
(2 )若c＝13，求△ABC的面积．
16. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1 的中点．
求证：
(1) MN∥平面ABB1A1；
(2) AN⊥A1B.
17. (本小题满分14分)
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆O的半径为10 cm，设∠BAO＝θ，00)的离心率为，且过点(1，)，F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF，BF分别交椭圆于C，D两点．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若AF＝FC，求的值；
(3) 设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，g(x)＝ln x－a(a∈R)．
(1) 当a＝1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；
(2) 若存在与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列，其前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.
(1) 若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列是等比数列；
(2) 若数列是等比数列，求λ，μ的值；
(3) 若a2＝3，且λ＋μ＝，求证：数列是等差数列.
2018届高三模拟考试试卷(四)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：
AB2＝BE·BD－AE·AC.
B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，B＝，若矩阵M＝BA，求矩阵M的逆矩阵M－1.
C. (选修44：坐标系与参数方程)
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l：(t为参数)与圆C：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．
D. (选修45：不等式选讲)
已知a，b，c，d都是正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证： ＋＋＋≥.
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E ，F，G分别是AA1，AC和A1C1的中点．以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz.
(1) 求异面直线AC与BE所成角的余弦值；
(2) 求二面角F BC1 C的余弦值．
23. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：y2＝4x于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.
(1) 求曲线E的方程；
(2) 若直线l1与曲线E相切于点Q(s，t)，过Q且垂直于l1的直线为l2，直线l1，l2分别与y轴相交于点A，B. 当线段AB的长度最小时，求s的值．
2018届高三模拟考试试卷(四)
数学参考答案及评分标准
1. {－1，0，1} 2. 1 3. (0，1] 4. 13 5. 750 6. 7. 8. 54 9. 4 10. 11. 11
12. [－1，＋1] 13. [－2，2] 14. －
15. 解：(1) 在△ABC中，由cos A＝，得A为锐角，所以sin A＝＝，
所以tan A＝＝，(2分)
所以tan B＝tan[(B－A)＋A]＝(4分)
＝＝3.(6分)
(2) 在△ABC中，由tan B＝3，
所以sin B＝，cos B＝，(8分)
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，(10分)
由正弦定理＝，得b＝＝＝15，(12分)
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×15×13×＝78. (14分)
16. 证明：(1) 取AB的中点P，连结PM，PB1.
因为M，P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC，且PM＝BC.
在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，
因为N是B1C1 的中点，
所以PM∥B1N，且PM＝B1N.(2分)
所以四边形PMNB1是平行四边形，
所以MN∥PB1，(4分)
而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.(6分)
(2) 因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.
因为BB1⊂平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.(8分)
因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1.
因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，
所以B1C1⊥平面ABB1A1.(10分)
因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.
连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B.
又NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N.(12分)
而AN⊂平面AB1N，所以A1B⊥AN.(14分)
17. 解：(1) 设AO交BC于点D，过O作OE⊥AB，垂足为E,
在△AOE中，AE＝10cos θ，AB＝2AE＝20cos θ，(2分)
在△ABD中，BD＝AB·sin θ＝20cos θ·sin θ，(4分)
所以S＝·2π·20sin θcos θ·20cos θ
＝400πsin θcos2θ(0
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