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2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
参考公式： 圆柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高
锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高
第I卷（选择题，共40分）
一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1.已知全集,集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.实数满足不等式组 则目标函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3.执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是（ ）
A.1 B. 2 C. 4 D.7
4.若，,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象 ( )
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.关于点对称 D.关于直线对称
7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于,两点, 为坐标原点. 若双曲线的离心率为,的面积为, 则抛物线的焦点为( )
A. () B.（） C. D.
8.已知函数,若存在，使得关于的函数
有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上.
9.已知是虚数单位，则 ．
10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
11.等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则= ．
12.设直线与圆相交于两点,若,则 ．
13.已知正实数满足且,则的最小值为___________.
14.已知菱形的边长为2,,点、分别在边上,，,若, 则的最小值 ．
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本题满分13分）从高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间,且成绩在区间的学生人数是人,
（1）求的值；
（2）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取人进行成绩分析
①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的人中,成绩都在内为事件,求事件发生的概率.
16．（本题满分13分）锐角中,分别为角的对边,，
（1）若求的面积；
（2）求的值.
17.（本题满分13分）如图，在四棱锥中，底面的边长是2的正方形，,,且.
（1）求证:;
（2）求证:平面平面;
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18．(本题满分13分)已知,椭圆的离心率,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于,两点,当的面积最大时,求直线的方程.
19. (本题满分14分)已知数列的前项和为,满足(),数列满足(),且
（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;
（2）若,求数列的前项和;
（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.
20． (本题满分14分)已知函数（其中,）.
（1）当时,求函数在点处的切线方程;
（2）若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;
（3）求证:对于任意大于1的正整数,都有.
2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（文科）评分标准
一、选择题：C B C D A B D B
二、填空题：
9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题：
15.（本题满分13分）从高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间,且成绩在区间的学生人数是人,
（1）求的值；
（2）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取人进行成绩分析
①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的人中,成绩都在内为事件, 求事件发生的概率.
解：(1)由直方图可得成绩分布在区间的频率为
............. 2分
样本容量 ............ 4分
(2) ①成绩在区间共有人记为
成绩在区间共有人记为 ............ 5分
则从中随机选取人所有可能的抽取结果共有种情况；
............ 9分
② “从上述5人中任选人，都来自分数段”为事件A;
则事件A包含的基本事件有 ............ 11分
故所求概率 ............ 13分
16．（本题满分13分）锐角中,分别为角的对边,，
（1）若求的面积；
（2）求的值.
解：(1) ……………1分
……………2分
……………3分
是锐角 ……………4分
……………5分
由余弦定理 ，
得，
∴，……………6分
则……………7分
（2），……………9分
……………11分
…13分
17.（本题满分13分）如图，在四棱锥中，底面的边长是2的正方形，,,且.
（1）求证:;
（2）求证:平面平面;
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
证明：（1） ……………………1分
……………………2分
……………………3分
(2) …………………4分
…………………5分
…………………6分
(3)取的中点,连接,,,
…………………7分
……………………8分
……………………9分
……………………10分
在等腰， 是中点 ……………………11分
在
……………………12分
……………………13分
18．(本题满分13分) 已知,椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点。
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程。
解：(Ⅰ)设，由条件知，，……………1分
又，……………3分
故椭圆的方程为；……………4分
(Ⅱ)当轴时，不合题意，故可设，
，……………5分
，……………6分
设，，
，……………7分
……………8分
又点到直线的距离，……………9分
∴△OPQ的面积，……………10分
设，则， ∴，……………11分
当且仅当，即时等号成立，……………12分
满足，∴当时，△OPQ的面积取得最大值2，此时直线的方程为或.……………13分
19. (本题满分14分)已知数列的前项和为,满足(),数列满足(),且
（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;
（2）若，求数列的前项和;
（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.
试题解析：（1）由两边同除以，
得，………………………………………1分
从而数列为首项，公差的等差数列，所以，
数列的通项公式为．…………………2分
当时， ，所以．……………3分
当时， ， ，
两式相减得，又，所以，
从而数列为首项，公比的等比数列，
从而数列的通项公式为．……………4分
(2) …………5分
…………6分
=…………7分
…………8分
（3）由（1）得，…………9分
，
所以，
两式相减得
所以，…………11分
由（1）得，
因为对 ，都有，即恒成立，
所以恒成立，…………12分
记，所以，
因为 ，从而数列为递增数列……… …13分
所以当时， 取最小值，于是． …………14分
20． (本题满分14分)已知函数（其中,）.
（1）当时,求函数在点处的切线方程;
（2）若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;
（3）求证:对于任意大于1的正整数,都有.
解（1），
……………………1分
……………………2分
……………………3分
……………………4分
（2），
……………………5分
函数在上为增函数，
对任意恒成立. ……………………6分
对任意恒成立，
即对任意恒成立. ……………………7分
时，，
，即所求正实数的取值范围是. ……………………8分
（3）当时，，，
当时，，
故在上是增函数. ……………………9分
当时，令，则当时，. ……………………10分
所以，……………………11分
所以，，……………………12分
所以，……………………13分
即，
所以，
即对于任意大于1的正整数，都有.……………………14分
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