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2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后，上交答题卡。
参考公式：（1） （2） (3)
(4)若事件相互独立，则与同时发生的概率.
第I卷（选择题，共40分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若实数满足，则的最小值是( )
A. B. - C. -3 D.
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4.已知集合，集合，
则的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 若，则的大小关系为（ ）
A． B. C. D.
6. 在△ABC中，，，则角＝( )
A. B. C.或 D.
7.已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，且为抛物线的准线与x轴的交点，为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)
9. 在二项式的展开式中，含的项的系数是
俯视图
（第11题图）
2
1
侧（左）视图
4
2
正（主）视图
10.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是,若直线与曲线相交于两点，则＝_________
11.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆
与其直径组成的图形，则此几何体的体积是
12.在平行四边形ABCD中，
∠BAD＝60°，E为CD的中点，若是线段
BC上一动点，则的取值范围是_________
13. 若正实数，满足，则的最大值是
14. 3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共
有 种（用数字作答）
三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15. (本小题满分13分) 已知函数.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的值；
16. (本小题满分13分) 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。
（Ⅰ）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求的值；
（Ⅱ）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片。
记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；
②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.
17．(本小题满分13分)在四棱锥中，，∥，,,是的中点,．
（Ⅰ）求证:∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得所成角的余弦值是,若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
18．（本小题满分13分）已知数列，且数列是公差不等于0的等差数列，且满足：，成等比数列。
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的焦距为6，离心率为.
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求实数的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数，
（Ⅰ）若，且在其定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）设函数，若恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（理科） 评分标准
一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分). CCAB BDDB
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).
9. -5； 10. ; 11. ； 12. ； 13. ； 14. 288.
三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15. (本小题满分13分)
已知函数.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的值；
【解析】(Ⅰ)
-----------------------------2分
-----------------------------3分
-----------------------------4分
-----------------------------5分
令，，
，-----------------------------6分
所以，的单调递增区间为：---------------------------------7分
(Ⅱ) ,-----------------------------8分
-----------------------------9分
-----------------------------10分
-----------------------------11分
-----------------------------12分
--------------------------13分
16. (本小题满分13分)某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。
（Ⅰ）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求的值；
（Ⅱ）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.
记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；
②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）…………4分
（Ⅱ）①…………6分
②由题意可知可取的值为0，100，200，300. 则…………7分
…………10分
因此的分布列为
X
0
100
200
300
P
………11分
的数学期望是
…………13分
17．(本小题满分13分)在四棱锥中，，∥，,,是的中点,．
（Ⅰ）求证:∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得所成角的余弦值是,若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）证明：取PB的中点M，AB的中点N，连接EM和CM，
∴CD∥AB且CD=AB，
∴E，M分别为PA，PB的中点，
EM∥AB且EM=AB，
∴EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，(2分)
∴DE∥CM，CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，(3分)
∴DE∥平面BPC.(4分)
（Ⅰ）由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)． (1分)
设平面PBC的法向量为
∴，令 ∴ (2分)
又
(3分)
∴ ∥平面 (4分)
（Ⅱ）设点F坐标为(1,t,0)，
则＝(1，t－1,0)，＝(1,2,0)，
由·＝0得t＝.∴ (5分)
设平面FPC的法向量为,
由得即 令∴(6分)
则＝. (7分)
又由图可知，该二面角为锐二面角，
故二面角F－PC－D的余弦值为.(8分)
（Ⅲ）设，∴ (9分)
∴
∴ (10分)
∵所成角的余弦值是∴其正弦值为 (11分)
∴ ，整理得：
(12分)
∴存在满足条件的点,且 (13分)
18．（本小题满分13分）已知数列，且数列是公差不等于0的等差数列，且满足：，成等比数列。
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．解析：（Ⅰ）时， （1分）
时，， （2分）
是以为首项，为公比的等比数列，（3分）
（4分）
又得： , （5分）
, 因为解得，（6分）
（7分）
（Ⅱ）
（8分）
（9分）
（10分）
（11分）
（12分）
（13分）
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的焦距为6，离心率为.
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,分别为线段
的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由题意得，（1分） ∴.（2分）
又因为，∴. （3分） 所以椭圆的方程为. （4分）
（Ⅱ）由 得. （5分）
设.所以，（6分）
依题意，，（7分）
法1：,
（9分）
法2：易知，四边形为平行四边形，所以.
因为，，
所以.（9分）
即 ，将其整理为 . （11分）
因为，所以，.（12分）
所以，（13分） （14分）
20．（本小题满分14分）
已知函数，
（Ⅰ）若，且在其定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）设函数，若恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
20．解：（I），
则………………………………2分
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以
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