醴陵二中，醴陵四中
2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷
命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、设是虚数单位,若,则复数（ ）
A． B． C． D．
2、下列推理正确的是（ ）
（A）把与类比，则有
（B）把与类比，则有
（C）把与类比，则有
（D）把与类比，则有
3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度
4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，
那么这个演绎推理（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误
5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为( )
A. B. C. 4 D. 5
6、,,则,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值确定
7、,则( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
8、设， 是虚数单位，则“”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ ）
A． B．
C． D．
11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（ ）．
A． B． C．1 D． [来源:学*科
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知复数，且有，则________．
14、已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为__________．
15、曲线的参数方程是，它的普通方程是 ．
16、如下面数表为一组等式：
某学生猜测,
若该学生回答正确,则 ．
三、解答题：（共70分）
17、( 本题满分10分) 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.
18、( 本题满分12分)在中，内角、、的对边分别为，且，
已知，
求：(1)和的值； (2)的值．
19、(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求三棱锥的体积．
20、( 本题满分12分) 已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.
(1)求a1与d的值;
(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
21、( 本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.
(1)求动点P的轨迹Ω的方程;
(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设
A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.
22、（本题满分12分）已知函数).
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);
醴陵二中，醴陵四中
2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试答案
命题学校：醴陵二中 命题人：贺建军 审题人：宁盼
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
1、设是虚数单位,若,则复数（ C ）
A． B． C． D．
2、下列推理正确的是（ D ）
（A）把与类比，则有
（B）把与类比，则有
（C）把与类比，则有
（D）把与类比，则有
3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ B ）
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度
4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，
那么这个演绎推理（ A ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误
5、在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为( A )
A. B. C. 4 D. 5
6、,,则,的大小关系为（ C ）
A． B． C． D．由的取值确定
7、,则( D )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
8、设， 是虚数单位，则“”是“复数 为纯虚数”的（ A ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ D ）
A． B．
C． D．
11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ B ）
A． B． C． D．
12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（ A ）．
A． B． C．1 D． [来源:学*科
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知复数，且有，则________．
14、已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为__________．
15、曲线的参数方程是，它的普通方程是 ．
16、如下面数表为一组等式：
某学生猜测,
若该学生回答正确,则 8 ．
三、解答题：（共70分）
17、( 本题满分10分) 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.
解:(1)由题意可得,直线l的普通方程为x-y+4=0,
曲线C的直角坐标系下的方程为=1,是以为圆心,1为半径的圆,该圆圆心到直线x-y+4=0的距离为d==5>1,
所以直线l与曲线C的位置关系为相离. 5分
(2)由(1)得曲线C的参数方程为(θ为参数),
因为M为曲线上任意一点,故设M,[来源:学&科&网Z&X&X&K]
则x+y=cos θ+sin θ=sin∈[-]. 10分
18、( 本题满分12分)在中，内角、、的对边分别为，且，
已知，
求：(1)和的值； (2)的值．
解：(1)由·＝2得c·acosB＝2．又cosB＝，所以ac＝6． 2分
由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB．
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13．
解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2． 5分
因为a>c，所以a＝3，c＝2． 6分
(2)在△ABC中，sinB＝＝＝．
由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝． 8分
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cosC＝＝＝． 10分
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝． 12分
19、(本题满分12分)在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求三棱锥的体积．
解：【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，
，
所以。 3分
设向量所成角为，则，或，
由于，所以，得，解得 6分
（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
的面积，的面积， （10分）
又平面，
所以，所以 （12分）
20、( 本题满分12分) 已知{an}是公差为d的等差数列,∀n∈N*,an与an+1的等差中项为n.
(1)求a1与d的值;
(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)依题意,an=a1+(n-1)d.
(方法一)由an与an+1的等差中项为n得=n,
即=a1+d=n. 所以解得a1=,d=1. 5分
(方法二)由an与an+1的等差中项为n得,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2.
解得a1=,d=1.
(2)由(1)得an=n-,bn=2n·an=n×2n-2n-1. 7分
(方法一)记Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,则
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.
两式相减得,Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=n×2n+1-2n+1+2. 10分
数列的前n项和1+2+22+…+2n-1=2n-1.
∴Sn=(n×2n+1-2n+1+2)-(2n-1)=n×2n+1-3×2n+3. 12分
(方法二)
Sn=(1×2-20)+(2×22-21)+(3×23-22)+…+[(n-1)×2n-1-2n-2]+(n×2n-2n-1),
2Sn=(1×22-21)+(2×23-22)+(3×24-23)+…+[(n-1)×2n-2n-1]+(n×2n+1-2n),两式相减得
Sn= - (1×2-20)-(1×22+1×23+…+1×2n)+(n×2n+1-2n)=n×2n+1-3×2n+3.
21、( 本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.
(1)求动点P的轨迹Ω的方程;
(2)若过点F的直线与点P的轨迹Ω相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.
解:(1)设动点P(x,y),则,化简得=1. 4分
(2)由(1)知,轨迹Ω是以F(2,0)为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接OM,ON,设直线MN的方程为x=my+2,点M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去x,得(m2+2)y2+4my-4=0,
则y1+y2=-,y1y2=-, 6分
所以|y1-y2|==.
由于M,N均在y轴右侧,则x1>0,x2>0,且0≤|m|0), 1分
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 3分
当a
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