高三普通班第一次质量大检测理科
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的实部为 （ ）
A． B． C．－ D．－
2.集合 ,则 （ ）
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
4.已知“”，且“”，则“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若的展开式中的系数为，则（ ）
A． B． C． D．
6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.已知，则（ ）
A． B． C． D．
8.函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
9.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为
A. B. C. D.
10. 已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为
A． B． C． D．
11.已知，两直角边，是内一点，且，
设，则
A. B. C. D.
12.已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：
①； ②；③；④.其中为“三角形函数”的个数是
A. B. C. D.
第 Ⅱ 卷
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（13）若，且，则的最小值是__________
（14）若，则 +−+…+的
值为
（15）已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为___________
（16）已知外接圆的半径为1，且.若，则的最大值为__________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列的前项和为．证明：．
18．（本小题满分12分）
据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
分组
频数
18
49
24
5
（Ⅰ）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?
（Ⅱ）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；
（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望.
19. 如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.
20. 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点， ，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线过定点.
21.（本题满分12分）
设函数f(x)=ax2+b，其中a,b是实数.
(Ⅰ)若ab>0，且函数f[f(x)]的最小值为2，求b的取值范围；
(Ⅱ)求实数a, b满足的条件，使得对任意满足xy=1的实数x, y，都有f(x)+f(y)≥f(x)f(y)成立.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.
（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）与，相交于，两点，且，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）若的最小值不小于，求的最大值；
（2）若的最小值为，求的值.
参考答案
CAAB DCBA BBAC
13. 4 14. -1 15.48 16.
17.解：（I）当时，有，解得.
当时，有，则
整理得：
数列是以为公比，以为首项的等比数列．
即数列的通项公式为：． ……………………………6分
（II）由（I）有，则
易知数列为递增数列
，即. ………………………………………12分
18.解：（I）由直方图知：，有，
由频数分布表知：，有．
甲公司的导游优秀率为：；
乙公司的导游优秀率为：；
由于，所以甲公司的影响度高． ………………………4分
（II）甲公司年旅游总收入的人数为人；
年旅游总收入的人数为人；
年旅游总收入的人数为人；
故甲公司导游的年平均奖金（万元）． ……8分
（III）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故的可能取值为，易知：
；
；
；
.
的分布列为：
的数学期望为：． …………12分
19.【答案】证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）取的中点为，连接，，结合条件可证得平面，于是，又，故可得．（Ⅱ）由题意可证得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题．
试题解析：
证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，
∵为等边三角形，
∴.
在底面中，可得四边形为矩形，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴.
又，
∴.
（Ⅱ）∵平面面，，
∴平面，
由此可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵直线与平面所成角为，即，
由，知，得.
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为.
由，得．
令，则．
设平面的一个法向量为，
由，得．
令，则，
∴ ，
由图形知二面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
20.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.
【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.
【试题解析】
（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，
因此椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设直线的方程为.
由，消去得.
设，，则，.
直线的斜率 ；
直线的斜率 .
.
由的平分线在轴上，得.又因为，所以，
所以.
因此，直线过定点.
21.解：(1)由题， f[f(x)]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，记t=x2
当ab>0时，二次函数的对称轴
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