2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（二）（文科）.pdf

南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 1 页（共 6 页） 2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二) 数学试卷（文史类）参考答案 2019.05 一、选择题： 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 D B B A C D C A 二、填空题： （9）13 2 ； （10）57； （11） 2  ； （12）4； （13） 17 1 ； （14）(– 3 2 ，1) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （15）解：（Ⅰ）因为甲代表队的中位数为 76，其中已知低于 76 的有 71，71，65，64， 高于 76 的有 77，80，82，88，所以 x=6； …………1 分 因为乙代表队的平均数是 75，其中少于 75 的差值为 3，5，7，7，19，和为 41， 超过 75 的差值为 5，11，13，14，和为 43，所以 y=3． …………3 分 （Ⅱ）甲队中成绩不低于 80 的有 80，82，88，乙队中成绩不低于 80 的有 80，86， 88，89，从中各随机抽取 1 名，组成数对(甲成绩，乙成绩)，共有(80，80)， (80，86)，(80，88)，(80，89)，(82，80)，(82，86)，(82，88)，(82， 89)，(88，80)，(88，86)，(88，88)，(88，89)，共 12 种，…………7 分 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有(80，80)，(82，80)，(88，80)， (88，86)，(88，88)，共 5 种， …………8 分 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率 P= 5 12 ． …………9 分 （Ⅲ）因为甲的平均数为 甲x = 1 10 (64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75， 所以甲的方差 2 甲s = [(64–75)2+(65–75)2+(71–75)2+(71–75)2+(76–75)2 +(76–75)2+(77–75)2+(80–75)2+(82–75)2+(88–75)2]=50.2，……11 分 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 2 页（共 6 页） 又乙的方差 2 乙s = 1 10 [(56–75)2+(68–75)2+(68–75)2+(70–75)2+(72–75)2 +(73–75)2+(80–75)2+(86–75)2+(88–75)2+(89–75)2]=100.8，……12 分 因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定． …………13 分 （16）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 B b sin = sin c C ，得 3 sinB = Csin 4 ，………2 分 ∵C=2B，∴ = 4 sin2B ，即 = 4 2sin cosBB ， 解得 cosB= 3 2 ． …………4 分 在△ABC 中，由余弦定理 b2=a2+c2–2accosB， 得 a2– 3 16 a+7=0，解得 a=3，或 a= 3 7 ． ∵a≠b，∴a= 3 7 ． …………7 分 （Ⅱ）∵cosB= ，∴sinB= 3 5 ， ∴sin2B=2sinBcosB= 9 54 ，cos2B=2cosB2–1=– 9 1 ， …………11 分 ∴cos(2B+ 3  )= 2 1 cos2B– 2 3 sin2B=–1 4 15 18  ． …………13 分 （17）解：（Ⅰ）在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2， ∴AC=BC= 2 ，AC⊥BC． …………2 分 ∵PC⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴PC⊥AC． …………3 分 又 BC∩PC=C，∴AC⊥平面 PBC． …………4 分 ∵AC⊂平面 EAC， ∴平面 EAC⊥平面 PBC． …………5 分 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 3 页（共 6 页） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PBC， ∴AC⊥CP，AC⊥CE， ∴∠PCE 即为二面角 P-AC-E 的平面角． …………7 分 ∵PC=2，BC= 2 ， ∴在△PCB 中，可得 PE=CE= 2 6 ， ∴cos∠PCE= CECP PECECP   2 222 = 3 6 ． …………9 分 （Ⅲ）连接 BD 交 AC 于点 O，作 OF∥PD， 交 PB 于点 F，连接 AF，CF． ∵OF∥PD，PD平面 ACF，OF平面 ACF， ∴PD∥平面 ACF． …………11 分 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD， ∴DO= 1 3 DB， 在△PBD 中，OF∥PD， ∴PF= PB= 3 6 ． ………………………13 分 （18）解：（Ⅰ）在 Sn=–an–( 1 2 )n–1+2 中，令 n=1， 可得 S1=–a1–1+2，即 a1= ． …………………1 分 当 n≥2 时，Sn–1=–an–1–( )n–2+2， ∴an=Sn–Sn–1=–an+an–1+( )n–1， …………………3 分 ∴2an=an–1+( )n–1，即 2nan=2n–1an–1+1． …………………4 分 ∵bn=2nan，∴bn=bn–1+1，即当 n≥2 时，bn–bn–1=1．…………………5 分 又 b1=2a1=1， F O A B D C E P 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 4 页（共 6 页） ∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列． …………………6 分 于是 bn=1+(n–1)·1=n=2nan，∴an= 2n n ． …………………7 分 （Ⅱ）∵cn=log2 n n a =n， …………………8 分 ∴ 2 2 nncc = 2 2()nn = 1 n – 1 2n ， …………………9 分 ∴Tn=( 1 1 – 1 3 )+( 1 2 – 1 4 )+( – 1 5 )+( – 1 6 )+… +( 1 3n – 1 1n )+( 1 2n – 1 n )+( – 1 1n )+( – ) = 3 2 – – ． …………………11 分 由 Tn＜ 25 21 ，得 – – ＜ ，即 + ＞ 13 42 ， ∵f(n)= + 单调递减，且 f(4)= 11 30 ，f(5)= ， ∴n 的最大值为 4． …………………13 分 （19）解：（Ⅰ）∵F 是 AT 的中点，∴ 2 2  aacc ，即(a–2c)(a+c)=0， 又 a，c＞0，∴a=2c，∴e= c a = 1 2 ． ………………………2 分 （Ⅱ）①过 M，N 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M1，N1， ∵N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 距离的 2 倍， ∴ 1 1 MM NN = TM TN =2， ∴   FMN TNF S S = MN TN = ， 又∵ ANFS = TNFS ， 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 5 页（共 6 页） ∴ 1 2 S S = 1 2 ． ………………………………4 分 ②由（Ⅰ）知椭圆方程为 22 22143xy cc ，T(4c，0)． ……………………5 分 设直线 TN 的方程为 x=ty+4c， 与椭圆方程联立，并消去 x 整理得：(3t2+4)y2+24cty+36c2=0， 依题意有△=(24ct)2–4·36c2(3t2+4)＞0，即 t2＞4． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 21 2 2 2 12 24 34 36 34              ， ， yy yy ct t c t （*） ………………8 分 由①知 M 是 N，T 的中点，故 y2= 2y1， ……………………9 分 ∴代入（*）得 2 21 1 2 2 3 2 24 34 36 34          ， ， y y ct t c t 解得 t2= 36 5 ． ……………………11 分 ∴原点 O 到直线 TN 的距离为 d= 2 4 1 c t = 45 41 c = 20 41 41 ，…………12 分 解得 c= 5 ， ……………………13 分 故椭圆方程为 22 120 15xy ． ……………………14 分 （20）解：（Ⅰ）依题意，得 f(x)=2ax+b+1， 由 f(–1)=–2a+b+1=0 得 b=2a–1． …………………2 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 g(x)= 3 1 x3+ax2+(2a–1)x． 故 g(x)=x2+2ax+(2a–1)=(x+1)(x+2a–1)， 令 g(x)=0，则 x=–1 或 x=1–2a， …………………4 分 南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（文史类）第 6 页（共 6 页） ①当 a＞1 时，1–2a＜–1， 当 x∈(1–2a，–1)时，g(x)＜0，g(x)的单调减区间为(1–2a，–1)； 当 x∈(–∞，1–2a)∪(–1，+∞)时，g(x)＞0， g(x)的单调增区间为(–∞，1–2a)和(–1，+∞)； …………………6 分 ②由 a=1 时，1–2a=–1，，此时，g(x)≥0 恒成立，且仅在 x=–1 处 g(x)=0， 故函数 g(x)的单调区间为 R； …………………7 分 ③当 a＜1 时，1–2a＞–1，同理可得函数 g(x)的单调增区间 为(–∞，–1)和(1–2a，+∞)，单调减区间为(–1，1–2a)．…………………8 分 （Ⅲ）当 a=–1 时，得 g(x)= 3 1 x3–x2–3x． 由 g(x)=x2–2x–3=0，得 x=–1 或 x=3， 由（Ⅱ）得 g(x)的单调增区间为(–∞，–1)和(3，+∞)，单调减区间为(–1，3)， ∴函数 g(x)在 x1=–1 和 x2=3 处取得极值． …………………10 分 故 A(–1， 5 3 )，B(3，–9)， ∴直线 AB 的方程为 y=– 8 3 x–1． …………………11 分 由 221 33 8 13         y x x x yx 得 x3–3x2–x+3=0， …………………12 分 令 F(x)=x3–3x2–x+3， 易 F(0)=3＞0，F(2)=–3＜0，而 F(x)的图象在(0，2)内是一条连续不断的曲线， 故 F(x)在(0，2)内存在零点 x0，即线段 AB 与曲线 g(x)有异于 A，B 的公共点． ………………………………14 分