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2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
2019.4
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是
A． B. C． D.
2．己知集合A= ，则
A.x|x0)上，则
的最小值为
A.4 B. 3+2 C. 6+4 D.8
10．函数的部分图像如图所示，先把函数y=f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，则函数y=g(x)的图像的一条对称轴为
A.x= B. x= C． x= - D．x= -
11.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M(xo，yo)，且1≤yo -xo≤7，则
的取值范围为
A. B. C. D.
12.若点A(t，0)与曲线y=ex上点P的距离的最小值为，则实数t的值为
A. 4- B. 4- C. 3+ D. 3+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ．
14．若(ax-l)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是____．
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式就是其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sinC=2sinAcosB，且b2，1，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为____．
16.有一个底面半径为R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为____．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17. （本小题满分12分）
己知{an}是递增的等比数列，a2+a3 =4，ala4=3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. （本小题满分12分）
科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
根据上表的数据得到如下的散点图．
(1)根据上表中的样本数据及其散点图：
(i)求;
(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．
(2)若y关于x的线性回归方程为 ，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。
附：
参考数据：
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且AD=PB．
(l)求证：平面PAD ⊥平面ABCD；
(2)若AD⊥PB，求二面角D-PB-C的余弦值．
20． （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A(-2，0)，B(2，0)的连线的斜率之积为
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设过点（-1，0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，判断直线x=与以线段PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=lnx -
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个零点xl，x2，求k的取值范围，并证明x1+x2>
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
己知函数f(x) =|2x-l|-a．
(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；
(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.
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2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
A
D
B
D
A
C
C
B
D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解法1：（1）设等比数列的公比为，
因为，，
所以 ……………………………………………………………………………………2分
解得 或 ………………………………………………………………………………4分
因为是递增的等比数列，
所以，．……………………………………………………………………………………5分
所以数列的通项公式为．………………………………………………………………6分
解法2：（1）设等比数列的公比为，
因为，，
所以，是方程的两个根．…………………………………………………………2分
解得或…………………………………………………………………………………4分
因为是递增的等比数列，
所以，，则．…………………………………………………………………………5分
所以数列的通项公式为．………………………………………………………………6分
（2）由（1）知．………………………………………………………………………………7分
则， ①…………………………………………8分
在①式两边同时乘以得，
， ②………………………………………9分
①-②得，…………………………………………………10分
即，…………………………………………………………………………11分
所以．………………………………………………………………………12分
18．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（ⅰ）．…………………………………2分
（ⅱ）…………3分
………………………………4分
．…………………………………………………………………………5分
因为，，
所以．……………………………………………………………………………………………6分
由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………………7分
（2）因为回归方程为，即．
所以．
【或利用】……………………………10分
所以关于的线性回归方程为．
将代入线性回归方程得．………………………………………11分
所以根据回归方程预测年龄为岁时人的脂肪含量为%．…………………………………12分
19．（1）证明：取中点，连结，，，
因为底面为菱形，，
所以．
因为为的中点，
所以．………………………………………1分
在△中，， 为的中点，
所以．
设,则，，
因为，所以．………………………………………2分
【2分段另证：在△中，，为的中点，所以．
在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．
所以．所以．】
因为，平面，平面，
所以平面．……………………………………………………………………………………3分
因为平面，
所以平面平面．…………………………………………………………………………4分
（2）解法1：因为，，，
平面，平面，
所以平面．
所以．
由（1）得，，
所以，，所在的直线两两互相垂直．
………………………5分
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．……………………………………………………………6分
设，则，，，，………………………………7分
所以，，，………………………………8分
设平面的法向量为，
则 令，则，，
所以．…………………………………………………………………………………9分
设平面的法向量为，
则 令，则，，
所以．……………………………………………………………………………………10分
设二面角为，由于为锐角，
所以
………………………………………………………………………………11分
．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分
解法2：因为，，，平面，平面，
所以平面．
所以．…………………………………………………………………………………………5分
所以，．
过点作，为垂足，
过点作交于点，连接，……6分
因为，，
所以，即．
所以为二面角的平面角．………7分
在等腰△中，，，
根据等面积法可以求得．…………………………………………………………………8分
进而可以求得，
所以，
．…………………………………………………………………………9分
在△中，，，，
所以．
在△中，，，，
所以，即．…………………………10分
在△中，，，，
所以………………………………………………………………11分
．
所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分
20．解：（1）设动点的坐标为，
因为，，…………………………………………………1分
所以
．……………………………………………………………………2分
整理得．………………………………………………………………………………………3分
所以动点的轨迹的方程．………………………………………4分
（2）解法1：过点的直线为轴时，显然不合题意．……………………………………………5分
所以可设过点的直线方程为，
设直线与轨迹的交点坐标为，，
由得．………………………………………………………6分
因为，
由韦达定理得=，=．…………………………………………………7分
注意到=．
所以的中点坐标为．…………………………………………………………8分
因为
．………………………………………………9分
点到直线的距离为．………………………………………10分
因为，……………………………………………………………11分
即，
所以直线与以线段为直径的圆相离．……………………………………………………12分
解法2：①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与交于和两点，此时直线与以线段为直径的圆相离．…………………………………5分
②当过点的直线斜率存在时，设其方程为，
设直线与轨迹的交点坐标为，，
由得
．……………………………………………6分
因为，
由韦达定理得，．…………………………………………………7分
注意到．
所以的中点坐标为．…………………………………………………………8分
因为
．………………………………………………9分
点到直线的距离为．……………………………………10分
因为，……………………………………………………………11分
即，
所以直线与以线段
为直径的圆相离．……………………………………………………12分
21．（1）解：因为，函数的定义域为，
所以．………………………………………………………………1分
当时，，
所以函数在上单调递增．…………………………………………………………………2分
当时，由，得（负根舍去），
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减；在上单调递增．……………………………3分
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………………………………4分
（2）先求的取值范围：
【方法1】由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．
………………………………………………………………………5分
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使函数有两个零点，首先，解得．………………6分
因为，且，
下面证明．
设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，
所以．
【若考生书写为：因为当时，，且．此处不扣分】
所以的取值范围是．…………………………………………………………………………7分
【方法2】由，得到．………………………………………………5分
设，则．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以由
．…………………………………………………………………6分
因为时，，且，
要使函数有两个零点，必有．
所以的取值范围是．…………………………………………………………………………7分
再证明：
【方法1】因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．
所以即．……………………………………………………8分
所以，即，，．
要证，即证．………………………………………………………9分
即证，即证．
因为，所以即证，
或证
．………………………………………………………………10分
设，．
即，．
所以．
【用其他方法判断均可，如令分子为，通过多次求导判断】
所以在上单调递减，………………………………………………………………………11分
所以．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法2】因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．
所以即．……………………………………………………8分
所以，即，，．
要证，需证
．………………………………………………………9分
即证，即证．
因为，所以即证．…………………………………………………10分
设，
则，．
所以在上单调递减，………………………………………………………………………11分
所以．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法3】因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．
所以即．………………………………………………………8分
要证，需证．………………………………………………………9分
只需证．
即证，即证．
即证．…………………………………………………………………………10分
因为，所以，即．………………………………………………11分
所以．
而，
所以成立．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法4】因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．
由已知得即．…………………………………………………8分
先证明，即证明．
设，则．
所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．………………………9分
所以有．………………………………………………………10分
即．
因为（），……………………………………………………………………11分
所以，即．
所以．…………………………………………………………………………………12分
【方法5】要证，其中，，
即证．…………………………………………………………………………………8分
利用函数的单调性，只需证明．
因为，所以只要证明，其中
．………9分
构造函数，，
则．…………………………………………10分
因为
（利用均值不等式）
，
所以在上单调递减．…………………………………………………………………11分
所以．
所以在上恒成立．
所以要证的不等式成立．……………………………………………………………12分
22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），
当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分
当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分
因为，…………………………………………………………………………4分
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分
解法2：因为直线的参数方程为（为参数），
则有 ……………………………………………………………2分
所以直线的直角坐标方程为 ．………………………3分
因为，…………………………………………………………………………4分
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分
（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分
因为，可设该方程的两个根为，，
则 ，．……………………………………………………7分
所以
．…………………………………………………………8分
整理得，
故．…………………………………………………………………………………9分
因为，所以或，
解得或
综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分
解法2：直线与圆交于，两点，且，
故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分
①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分
②当时，直线的方程为．
所以，………………………………………………………………8分
整理得．
解得．………………………………………………………………………………………………9分
综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分
23．（1）解：当时，由，得．…………………………………………1分
当时，， 解得．
当时，，解得．…………………………………………………………4分
综上可知，不等式的解集为 ．……………………………………5分
（2）解法1：由，得．
则．…………………………………………………………………………………6分
令，
则问题等价于
因为……………………………………………………………………9分
．
所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分
解法2：因为，………………………………………………6分
即，则．……………………………………………7分
所以，…………………………………………8分
当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分
所以．
所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分
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