哈尔滨市第六中学 2018 届高三第二次模拟考试
理科数学试卷
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，
满分 150 分，考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体
工整,
字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答
题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知复数 z 满足 3( 1)( ) 2i z i i (i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( )
A． 1i B．1 2i C．1 i D．1 2i
2．已知集合 A={x| 2( ) lg( 6)f x x x }，B={x| ( )g x = x m }，若 A B I ，则实数 m
的取
值范围是( )
A．(−∞，3) B．(−2，3) C．(−∞，−2) D．(3，+∞)
3．已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0，b>0)的右顶点与抛物线 2y =8x 的焦点重合，且其离心率
e= 3
2
，
则该双曲线的方程为( )
A．
2 2
14 5
y x B．
2 2
15 4
x y C．
2 2
14 5
x y D．
2 2
15 4
y x
4．已知在各项均为正数的等比数列{ na }中， 1 3a a =16， 3a + 4a =24，则 5a =( )A．128 B．108 C．64 D．32
5．已知 是第四象限角，且 1sin cos 5
，则 tan 2
=( )
A． 1
3 B． 1
3
C． 1
2 D． 1
2
6．已知命题 p：存在 n R ，使得 ( )f x =
2 2n nnx 是幂函数，且在 (0, ) 上单调递增； 命题
q：
“ 2, 2 3x R x x ”的否定是“ 2, 2 3x R x x ”．则下列命题为真命题的是( )
A． p q B． p q C． p q D． p q
7．函数 ( )f x = 2
ln | |2 x
x
的图象大致为( )
A． B．
C． D．
8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”，
执行该程序，若输入 6n ，则输出C =( )
A．5 B．8
C．13 D． 21
9．从 , , , ,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有 A 和 B 时，
A 需排在 B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )
A．51 种 B．45 种
C．42 种 D．36 种
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )A． 1
4
B． 3
4
C． 1
2
D． 3
2
11．正方形 ABCD的四个顶点都在椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
上，若椭圆的焦点在
正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． 5 1(0, )2
B． 5 1( ,1)2
C． 3 1( ,1)2
D． 3 1(0, )2
12．已知 ( )f x 为函数 ( )f x 的导函数，且 ( )f x = 21
2 x − (0)f x+ (1)f 1xe ，
( )g x = ( )f x − 21
2 x x ，若方程
2
( )xg xa
−x=0 在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数 a
的取
值范围是（ ）
A． (0，1] B．(−∞，−1] C． (−∞，0)∪{1} D．[1，+∞)
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题,每题 5 分.）
13．一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：
(i)如果开启 1 号阀门，那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门；(ii)如果开启 2
号阀门或者 5 号阀门，那么要关闭 4 号阀门；(iii)不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门．现
在要开启 1 号阀门，则同时开启的 2 个阀门是 ．
14．若实数 x，y 满足约束条件 4
2
y x
y x
y k
，且 2 2x y 的最小值为 4 ，则 k = ．15．若 9 2 9
0 1 2 9( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x L ，则 7a 的值为 ．
16．已知首项为 1
3
的数列{ na }的前 n 项和为 nS ，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数 ( )f x ，对
任意
的 x，y∈R，都有 ( )f x · ( )f y = ( )f x y ．若点(n， na )(n∈N*)在函数 ( )f x 的图象上，
且不
等式 2m + 2
3
m < nS 对任意的 n∈N*恒成立，则实数 m 的取值范围为______________
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，
且满足 (2 )cos cosc b A a B ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 D 为 BC 上一点，且满足 2 , 2 3BD DC AD
uuur uuur
， 3,b 求 a ．
18．(本小题满分 12 分)如图 1，已知在梯形 ABCD中， / /AB CD ， ,E F 分别为底 ,AB CD 上
的点，且 EF AB ， 1 12,2 2EF EB FC EA FD ，沿 EF 将平面 AEFD 折起至平
面 AEFD 平面 EBCF ，如图 2 所示．
（1）求证：平面 ABD⊥平面 BDF；
（2）若二面角 B−AD−F 的大小为 60°，求 EA 的长度．
图图 1 图 2
19．(本小题满分 12 分)小张经营一个抽奖游戏。顾客花费 3 元钱可购买游戏机会。每次游戏
中，顾客从装有1个黑球， 3 个红球， 6 个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出 3 个
球（除颜色外其他都相同），根据摸出的球的颜色情况进行兑奖。顾客获得一等奖，二等
奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为 a 元，10元，5 元，1元。若经营者小张将顾
客摸出的3 个球的颜色情况分成以下类别： :1A 个黑球 2 个红球； :3B 个红球； :C 恰有
1个白球； :D 恰有 2 个
白球； :3E 个白球。且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一
等奖，
中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖五个层次。
（1）通过计算写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）；
（2）已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客进行一次游戏时小张可获利 X 元，求变量 X 的分布列；若小张不打算在游戏
中亏
本，求 a 的最大值.
20．(本小题满分 12 分)已知椭圆 )0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xC ,过椭圆 C 的右焦点 F 任作一条直
线，交椭圆C 于 BA, 两点.过椭圆C 的中心任作一条直线，交椭圆C 于 NM, 两点.
（1）求证:直线 AM 与直线 AN 的斜率之积为定值.
（2）若 22a AB ON ,试探究直线 AB 与直线 MN 的倾斜角之间的关系.21．(本小题满分 12 分)已知 1 xf x x e
（1）当 0a 时，求函数 21( ) 2g x f x ax 的极值点.
（2）若 1x ，都有 ln 1f x x m x 成立，求 m 取值范围.
请从下面所给的 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.
22．(本小题满分 10 分)在极坐标系中，已知曲线 : cos( ) 14C ，过极点 O 作射线与曲
线C 交于点 Q ，在射线OQ上取一点 P ，使 2OP OQ .
（1）求点 P 轨迹 1C 的极坐标方程；
（2）以极点O 为直角坐标系原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy ，若直线 : 3l y x 与（1）中的曲线 1C 相交于点 E （异于点O ），与曲线
2
21 2: ( )
1 2
2 2
x t
C t
y t
为参数 相交于点 F ，求 EF 的值.
23．(本小题满分 10 分)设 ( ) 1 1 ,( )f x x x x R
（1）求证： ( ) 2;f x
（2）若不等式 2 1 1( ) b bf x b
对任意非零实数b 恒成立，求 x 的取值范围.2018 届高三理科数学二模答案
一、 选择题：
BACDB CBBAD AC
二、 填空题：
三、简答题：
17.解：（1）在 中，由正弦定理得：
4 分
（2）在 中，由余弦定理得： 5 分
在 中，由余弦定理得： 7 分
在 中，由余弦定理得： 9 分
解得： 12 分
18.解：（1） ； ； ； ； ;
∵ ,
∴中一至四等奖分别对应的类别是 B，A，E，C. 5 分
（2）事件 为顾客摸出的第一个球是红球，事件 为顾客获得二等奖
8 分
（3）设顾客进行一次游戏经营者可盈利 元，则
X 3-a -7 -2 2 3
P1
0 分
，
12 分
19.(1)由题意知 EA FD，EB FC，所以 AB∥CD，即 A，B，C，
D 四点共面．由 EF=EB
FC=2，EF⊥AB，得 FB=BC=2 ，则 BC⊥FB，又翻折后平面 AEFD⊥平
面 EBCF，平面
AEFD∩平面 EBCF=EF，DF⊥EF，所以 DF⊥平面 EBCF，因而 BC⊥DF，又 DF∩FB=F，
所以 BC⊥平面 BDF，由于 BC 平面 BCD，则平面 BCD⊥平面 BDF，又平面 ABD 即平面 BCD
所以平面 ABD⊥平面 BDF．（6 分）
(2)以 F 为坐标原点，FE，FC，FD 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 F(0，0，0)，B (2，2，0)，设 EA=t(t>0)，则 A (2，0，t)，
D(0，0，2t)，
=(0，2，−t)， =(−2，0，t)．（8 分）
设平面 ABD 的法向量为 m=(x，y，z)，则
即 ，
取 x=t，则 y=t，z=2，所以 m=(t，t，2)为平面 ABD 的一个法向量．
又平面 FAD 的一个法向量为 n=(0，1，0)，
则|cos|= = ，
所以 t= ，即 EA 的长度为 ．（12 分）20．解：(1)证明：设 A(x0，y0)，M(x1，y1)，N(－x1，－y1)，
由
2
00＋
2
00＝1，
2
11 ＋
2
11＝1，两式相减，得
2
0
2
11＋
2
0
2
11＝0，即
2
0
2
1
2
0
2
1
2
1＝－
b2
a2.
∵kAM＝
y0－y1
x0－x1，kAN＝
y0＋y1
x0＋x1，
∴kAM·kAN＝－
b2
a2为定值． 4 分
(2)当弦 AB 所在直线的斜率不存在时，|AB|＝
2b2
a ，
∴|MN|＝2b，∴弦 MN 为椭圆的短轴，此时，MN∥AB. 5 分
当弦 AB，弦 MN 所在直线的斜率均存在时，
不妨设弦 AB 与弦 MN 所在直线的斜率分别为 k1，k2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则直线 AB，MN 的方程分别为 y＝k1(x－c)，y＝k2x，
由
y＝k1（x－c），
b2x2＋a2y2－a2b2＝0，
得(b2＋a2k
2
1)x2－2a2k
2
1cx＋a2c2k
2
1－a2b2＝0，
∴x1＋x2＝
2
1
2
1
2
1，x1x2＝
2
1
2
1
2
1，
∴|AB|＝
2
1
2
1·|x1－x2|＝
2
1
2
1·
＝
2
1
2
1·
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
＝
2
1
2
1·
2
1
2
1
2
）2＝
2
1
2
1
2
1. 8 分
同理，联立
y＝k2x，
b2x2＋a2y2－a2b2＝0，
得(b2＋a2k
2
2)x2－a2b2＝0，
∴x3＋x4＝0，x3x4＝
2
2
2
2，
∴|MN|＝
2
2
2
2·|x3－x4|＝
2
2
2
2·＝
2
2
2
2·
2
2
2
2＝
2ab·
2
2
2
2
2
2. 10 分
∵a|AB|＝2|ON|2 ∴ 2a|AB|＝|MN|2， ∴2a·
2
1
2
1
2
1＝4a2b2·
2
2
2
2
2
2，
即
2
1
2
1
2
1＝
2
2
2
2
2
2，
即(a2－b2)k
2
1＝(a2－b2)k
2
2.
∵a＞b，∴k
2
1＝k
2
2，∴k1＝±k2，∴直线 AB 与直线 MN 的倾斜角相等或互补．
综上所述，直线 AB 与直线 MN 的倾斜角相等或互补． 12 分
21.（1）
令 得 或
①当 时， 当 在 上变化时，可得下表：
0 0
↗ 极小值 ↘ 极大值 ↗
所以由表可知，此时极大值点为 ，极小值点为
②同理当 时，极大值点为 ，极小值点为
③当 时， ，此时 在 上单调递增,既无极
大值点也无极小值点
（2）设
令
∴ 为增函数
取 ， ，∴ 存 在 唯 一 使 ， 即
， ，即 ，∴
为减函数
， ，即 ，∴ 为增函数
∴
∴对 有 成立
等价 于恒成立
即
所以
23.（1）f(x)=|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|=2． 5 分
（2）令 g(b)= ，则 g(b)= ≤ ＝3，
∴f(x)≥3，即|x－1|+|x+1|≥3．
化简得 或 或
解得 x≤－ 或 x≥ ，即为所求． 10 分
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