2018年高三第一次模拟考试
文科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．4
2. 设为的虚部，为的实部，则（ ）
A． -1 B． -2 C． -3 D．0
3.已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则 （ ）
A． B． C． D．
4. 已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知，则为（ ）
A． B．
C. D．
6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B． C. D．
7.如图所示的程序框图中，输出的为 （ ）
A． B． C. D．
8. 已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（ ）
A．0 B． 2018 C. 4036 D．4037
9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C. D．
10. 已知向量，向量，函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的一条对称轴为直线
C. 的最小正周期为 D．在上为减函数
11.已知双曲线的左顶点为，虚轴长为8，右焦点为，且与双曲线的渐近线相切，若过点作的两条切线，切点分别为，则 （ ）
A．8 B． C. D．
12.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2 B．4 C. 6 D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为3，则 ．
14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，
甲说：我做错了；
乙说：丙做对了；
丙说：我做错了．
在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”
请问他们三个人中做对了的是 ．
15.已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为 ．
16.已知分别为的三个内角的对边，，且
，则 ．
三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且.求数列的通项公式，并求其前项和.
18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成绩
87
87
84
100
92
乙的成绩
100
80
85
95
90
（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；
（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.
19. 如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.
（1）证明：；
（2）若，且，求点到平面的距离.
20. 椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足.
①证明：为定值；
②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点.若成等差数列，求的值.
21. 已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）设函数，证明:当 且时，.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与相交于两点，且.
（1）求的值；
（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值.
23. 已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数，当且仅当时，取得最小值，求时，函数的值域.
试卷答案
一、选择题
1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB
二、填空题
13. 14. 甲 15. 9 16. （或30°）
三、解答题
17.解：（1）由知
数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；
（2）∵，
∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
，从而，
，，
∴，
所以.
18.解：（1）∵，
，
，
∴甲的成绩更稳定；
（2）考试有5次，任选2次，基本事件有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和共10个，
其中符合条件的事件有和，和，和，和，和，和共有6个，
则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为，
另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为共10种，
其中符合条件的情况有共6种情况，
则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为.
19.（1）证明：连接，
∵为四棱台，四边形四边形，
∴，由得，，
又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，
又为的中点，所以，
又∵平面平面，平面平面，
∴平面平面，
∴；
（2）解：
在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知，
又∵底面，则平面底面为交线，
∴平面，所以，由（1）知，
∴平面（连接），
∴平面平面，过点作，交于点，
则平面，
在中可求得，所以，
所以，点到平面的距离为.
20.解：（1）由得，
把点代入椭圆方程为，∴得，
∴，椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知，
，
而，∴为定值；
②直线与椭圆联立，得，
，
设，则，
由①知，
∴，
∵成等差数列，
∴，即解得或，
又因为，所以.
21.解：（1）因为，
①若，∴在为增函数；
②若，则或
，
∴函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（2）令，，
设的正根为，所以，
∵，∴，
在上为减函数，在上为增函数，
，
令，
恒成立，所以在上为增函数，
又∵，∴，即，
所以，当时，.
22.（1）解：直线和圆的普通方程分别为，
，∴直线过圆的圆心，所以；
（2）证明：曲线，可知直线的参数方程为（为参数）代入曲线得，恒成立，
设两点对应的参数分别为，则，
所以为定值.
23.解：（1），
①，②，
所以，不等式的解集为；
（2），
当且仅当时取等号，∴，
得，
∴，故当时，
，
所以在时的值域为.
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