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2019 北京高考压轴试题 数学文科
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
2．下列函数中，值域为R的偶函数是（ ）[
A．y=x2+1 B．y=ex﹣e﹣x C．y=lg|x| D．
3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）
A. B. C.D.
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）
A．27 B．30 C．32D．36
6. “”是直线与直线平行的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）
A． B．1 C．2 D． 3
8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）
9.函数的最小正周期是，最小值是．
10．已知，，则______．
11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为_.
12.在平面向量中，已知，，.如果，那么_____；如果，那么______
13.若，，，，则，，有小到大排列为．
14.数列满足：，给出下述命题：
①若数列满足：，则成立；
②存在常数，使得成立；
③若，则；
④存在常数，使得都成立．
上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）
已知数列满足，是自然对数的底数.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：当时，.
16.（本小题13分）
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期；
(Ⅱ)求证：对于任意的，都有．
17．（本小题13分）
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
成绩分组
频数
[75，80)
2
[80，85)
6
[85，90)[]
16
[90，95)
14
[95，100]
2
高一 高二
（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95,100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，试估计的大小
18．（本小题14分）
在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．
图1 图2
19. （本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若有极小值，求实数的取值范围．
20. （本小题14分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线交椭圆于、两点.若，求证：为定值.
1.【答案】A
【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以，．
2．【答案】C
【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．
故选：C
3．【答案】D
【解析】
试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D．
4.【答案】C
【解析】
由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，
则输出的a为3．
5.【答案】A.
【解析】
试题分析：四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，
两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是，故选A.
6．【答案】B
【解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B．
7.【答案】C.
【解析】由抛物线的定义知：，∴，
∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C.
8.【答案】B.
【解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，
又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.
9.【答案】.
【解析】，最小值是，故填：.
10.【答案】
【解析】因为，，则，所以，故答案为．
11.【答案】.
【解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为，
由已知直线过点，所以，即所以直线方程为
12.【答案】，.
【解析】
试题分析：因为，所以，因为，所以，即，所以，即，所以．
【答案】
【解析】取特殊值，令，，
则，，，
则，即
14.【答案】①④.
【解析】
试题分析：对①；因为，所以，由已知，
所以，即，正确
对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，
对③，因为，，所以假设
，则应有，即原数列应为递增数列，错，
对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．
15．
解：（Ⅰ）因为，，
所以数列是1为首项，为公比的等比数列，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以 ，
所以
.
因为，所以.所以
即
（16）
解:（Ⅰ）
.
所以 的最小正周期.
（Ⅱ）因为，所以.
所以.
所以
所以.
所以对于任意的，都有．
17．解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
.
（Ⅱ）高一年级成绩为的有名，记为，，，，[]
高二年级成绩为的有2名，记为，.
选取2名学生的所有可能为：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种；
其中2名学生来自于同一年级的有，，，，，，，共7种；
所.
（Ⅲ）．
18．
解：（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，
所以．
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接，；
因为在中，，分别是线段，的中点，
所以，．
因为是线段的中点，菱形中，，，
所以．
所以，．[]
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知平面．
所以是四棱锥的高．………………11分
因为，
所以．………………14分
19.解：（Ⅰ）当时，，.
，
所以在处的切线方程为.
（Ⅱ）有极小值函数有左负右正的变号零点.
令，则
令，解得.
的变化情况如下表：
–
0
+
减
极小值
增
① 若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意.
① 若，即时，，.
所以，使得；
且当时，，当时，.
所以当时，的变化情况如下表：
–
0
+
减
极小值
增
所以.
20.（本小题14分）
解：（Ⅰ）依题意，.
由，得.
∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，
则.
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的斜率为，依题意，
则直线的方程为，直线的方程为.
设，，，，
由得，
则，，
.
由整理得，则.
.
∴.
综合（1）（2），为定值.
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