北京市2019年高考压轴卷数学（理）试题（含解析）.doc

www.ks5u.com ‎ 2019 北京市压轴卷数学试题（理科）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知，则的值为（）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．下列函数中，值域为R的偶函数是（　　）‎ A．y=x2+1 B．y=ex﹣e﹣x C．y=lg|x| D．‎ ‎3．若变量满足约束条件,则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）‎ ‎ A. B. C.D.‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）‎ A．27 B．30 C．32D．36‎ ‎6. “”是直线与直线平行的（）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件[]‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）‎ A． B．1 C．2 D． 3‎ ‎8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）‎ A． B．C． D．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）‎ ‎9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ．‎ ‎10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ 11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ．‎ ‎12.的二项展开式中项的系数为_________．（用数字作答）‎ ‎13.若，，，，则，，有小到大排列为 ．[‎ ‎14.数列满足：，给出下述命题：‎ ①若数列满足：，则成立；‎ ②存在常数，使得成立；‎ ③若，则；‎ ④存在常数，使得都成立．‎ 上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 在中，已知，‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求边上的中线的长.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎ 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：‎ ‎20以下 ‎70以上 使用人数 ‎3‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ 未使用人数 ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎14‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；‎ ‎（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；‎ ‎（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．‎ 17． ‎（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知圆的切线与椭圆相交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求面积的最大值.‎ ‎20.（本小题共13分）‎ 已知曲线的方程为：.‎ ‎（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;‎ ‎（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;‎ ‎（3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以，．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．‎ 故选：C ‎3．【答案】D ‎【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D．‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，‎ 则输出的a为3．‎ ‎5.【答案】A.‎ ‎【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形， 两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是，故选A. ‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B．‎ ‎7.【答案】C.‎ ‎【解析】由抛物线的定义知：，∴，‎ ‎∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C. ‎ ‎8.【答案】B.‎ ‎【解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，‎ 又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.‎ ‎9.【答案】.‎ ‎【解析】，最小值是，故填：.‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】，，恒成立，且，‎ ‎=‎ 因为恒成立，‎ ‎．‎ ‎11.【答案】‎ ‎【解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为， 由已知直线过点，所以，即所以直线方程为 ‎12.【答案】‎ ‎【解析】展开式通项为，令，，所以项的系数为．‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】取特殊值，令，，则，，，则，即 ‎14.【答案】①④.‎ ‎【解析】试题分析：对①；因为，所以，由已知， 所以，即，正确 对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，‎ 对③，因为，，所以假设 ‎，则应有，即原数列应为递增数列，错，[]‎ 对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由，，所以.‎ 由正弦定理得，，即. .……… 6分 ‎（Ⅱ）在中，.‎ 由余弦定理得，,‎ 所以.‎ 所以. ‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）2200．‎ ‎【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有 人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．‎ ‎（2）所有的可能取值为1，2，3，‎ ‎；；．‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3[]‎ 所以的数学期望为．‎ ‎（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，‎ 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．‎ ‎17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，‎ 然后证明EF⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．‎ ‎（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．‎ 所以AB⊥AC．‎ 由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，‎ 所以EF⊥AC．‎ 因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，‎ 所以PA⊥底面ABCD．又因为EF⊂底面ABCD，‎ 所以PA⊥EF．又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以EF⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，‎ 所以MF∥PA，‎ 又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ 所以MF∥平面PAB．同理，得EF∥平面PAB．‎ 又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，‎ 所以平面MEF∥平面PAB．又因为ME⊂平面MEF，‎ 所以ME∥平面PAB．‎ ‎（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP 分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，‎ ‎0），E（1，1，0），‎ 所以，，，‎ 设，则，‎ 所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，‎ 易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）．‎ 设平面PBC的法向量为=（x，y，z），‎ 由，，得 令x=1，得=（1，1，1）．‎ 因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 解得，或（舍）．‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ)当时：，令解得，‎ 又因为当，，函数为减函数；‎ 当，，函数为增函数.[]‎ 所以，的极小值为. ‎ ‎（Ⅱ）.‎ 当时，由，得或.‎ ‎(ⅰ)若，则.故在上单调递增；‎ ‎（ⅱ）若，则.故当时，；‎ 当时，.‎ 所以在，单调递增，在单调递减.‎ ‎(ⅲ)若，则.故当时，；‎ 当时，.‎ 所以在，单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅲ）(1)当时，，令，得.因为当时，，‎ 当时，，所以此时在区间上只有一个零点.‎ ‎(2)当时：‎ ‎（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，‎ 只需讨论的符号：‎ 当时，，在区间上有且只有一个零点；‎ 当时，，函数在区间上无零点.‎ ‎ (ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.‎ 综上所述，. ‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值.‎ 试题解析：（1）由题意可知，，∴，∴‎ ‎，∴椭圆的离心率为；‎ ‎（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，‎ ‎，则，∴，同理，当时，也有 ‎，若切线的斜率存在，设，依题意，即，由，得．显然，设，,则 ‎，‎ ‎，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，综上所述，总有成立；（3）∵直线与圆相切，则圆半径即为的高，‎ 当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎（当且仅当 时，等号成立），‎ ‎∴，此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．‎ ‎20.（本小题共13分）‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；‎ ‎（2）由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；‎ ‎（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．‎ 试题解析：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线与，因为（1） 因为，在(1)和(2)中令，，当，存在，使得，成立，此时必有，因为当时， 所以，两边同时开次方有，.（指数函数单调性）这就得到了， 从而是关于递增的；（3）由于可等价转化为， 反证：若曲线上存在一点对应的坐标，，全是有理数， 不妨设，，，且互质，互质，则由 可得， ，即，这时，，就是 的一组解， 这与方程，，没有正整数解矛盾， 所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.‎