北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，或，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）复数在复平面内对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）若满足则的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
输出 输出
结束
是
开始形如
否
（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的值为，那么空白的判断框中应填入的条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
（A）2
（B）
（C）
（D） 4
（6）函数的零点所在区间是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量 同向”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一班的名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有人会选择甲，在乙、丙两个景点中有人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是
①该班选择去甲景点游览；
②乙景点的得票数可能会超过；
③丙景点的得票数不会比甲景点高；
④三个景点的得票数可能会相等.
（A）①② （B）①③
（C）②④ （D）③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）命题“，”的否定是_________．
（10）已知抛物线的焦点坐标为，则=_______．
（11）在平面直角坐标系中，以为始边的角的终边经过点，则_______，_________．
（12）已知圆上的点到直线的距离的最小值为，则实数 ．
（13）已知实数满足，则的最大值为 ．
（14）定义：函数在区间上的最大值与最小值的差为在区间上的极差，记作.
①若，则________；
②若，且，则实数的取值范围是________.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列的前项和，且，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前项和．
（16）（本小题13分）
函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
令，求函数的单调递增区间．
（17）（本小题13分）
某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取名进行调查，将受访用户按年龄分成组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于岁的概率；
（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．
（18）（本小题14分）
如图，四边形为菱形，，平面，
，∥，为中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若为线段上的点，当三棱锥的体积为时，求的值．
（19）（本小题共14分）
已知椭圆的离心率为，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点．
求证：过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点．
（20）（本小题13分）
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.
东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）B （3）C （4）B
（5）C （6）C （7）B （8）D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）， （10）
（11） （12）或
（13） （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．
因为，所以．
因为，所以，．
所以，． ……………6分
（Ⅱ）设等比数列的公比为．
由（Ⅰ）可知，，，所以．
所以，数列的前项和为，．………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） 因为，
所以．
又因为，
所以，
即．
因为，
所以．
所以的解析式是． ……………6分
（Ⅱ） 由已知，
所以
．
函数的单调递增区间为．
由，
得，
所以的单调递增区间为． ………13分
（17）（共14分）
解： （Ⅰ） 根据频率分布直方图可知，，
解得. ………5分（Ⅱ）根据题意，样本中年龄低于的频率为
，
所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，
估计其年龄低于40岁的概率为. ………10分
（Ⅲ）根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为
（岁）. ………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ） 设，连结．
因为分别是的中点，
因为//，且，
因为//，且，
所以//，且．
所以四边形为平行四边形．
所以∥．
又因为平面，平南，
所以∥平面． ………5分
（Ⅱ）因为为菱形，
所以．
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
又因为平面，
所以． ………10分
（Ⅲ）过作的平行线交于．
由已知平面，
所以平面．
所以为三棱锥的高．
因为三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积
．
所以．
所以．
所以． ………14分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意得解得．
所以．
所以椭圆的方程为． ………5分
（Ⅱ）由题意知，圆的方程为．
设，， ．
由，
得，
即，
即．
因为，
所以．
当时，，直线的方程为，直线过椭圆的右焦点．
当时，直线的方程为，
即，即，直线过椭圆的右焦点．
综上所述，直线过椭圆的右焦点． ………14分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以，.
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为. ………4分
（Ⅱ）当时，，
所以．
当时，，，
所以.
所以在区间上单调递增．
因此在区间上的最大值为，最小值为.………8分
（Ⅲ）当时，.
设，
，
因为，,
所以.
所以在区间上单调递减．
因为，，
所以存在唯一的，使，即.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为，，
又因为方程在区间上有唯一解，
所以. ………13分
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