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哈尔滨市第六中学2019届4月份阶段性测试
高二理科数学试题
一、选择题：（每题5分，共60分）
1.方程的解集为 （ ）
A. B. C. D.
2．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）
A. B. C. D.
3.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( )
A. 0.93×0.1 B. 0.93 C. ×0.93×0.1 D. 1－0.13
4．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知随机变量，若，则分别是 ( )
A. 6，2.4 B. 2，2.4 C. 2，5.6 D. 6，5.6
6.的展开式中只有第6项二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360
7.有3位男生，3位女生和一位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A. 144 B. 216 C. 288 D. 432
8.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.某人根据自己爱好，希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和
数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A. 198个 B. 180个 C. 216个 D. 234个
A
B
D
C
10.在矩形中，沿将矩形折叠，连接顶点形成三棱锥，其正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ ）
A. B. C. D.
11.在三行三列的方阵 中有9个数，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是（ ）
A. B. C. D.
12.哈尔滨2018年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语外不相邻，则该生该天课表有（ ）种.
A .444 B.1776 C. 547 D.2188
二、填空题（每题5分，共20分）
13.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有_________个.
14.已知为正整数，在与的展开式中含项的系数相同，则的值为
_______.
15.为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为_________.
16. 已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.
三、计算题：（共70分）
17.（共10分）二项式中第三项的二项式系数等于第五项二项式系数.
（1）求；（2）求第四项的系数；
（3）若，求：①；
②；
③.
18.（共12分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为 ，曲线的极坐标方程为 .
（1）若直线的参数方程中的时，得到点，求的极坐标和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线和曲线交于两点，求 .
19. （共12分）袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有个，3号球有个.从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是.
（1）求的值；
（2）从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列.
20. （共12分）如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，.
（1）求证：平面平面；
（2）为线段上一点，若二面角的平面角的余弦值为，求的长.
21.（共12
分）近年来，空气质量成为人们关注的话题，空气质量指数 是定量描述空气质量状况的指数。空气质量按照的大小分为六个级别：为优；为良； 为轻度污染；为重度污染；为重度污染；大于 为严重污染。环保部门记录了 年某月哈尔滨市天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计哈尔滨在这个月的空气质量达到优良（）的天数（按这个月总共天计）；
（2）现工作人员从这天中空气质量为优良的日子里随机抽取 天进行某项研究，求抽取的天中至少有一天空气质量为优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取天，记空气质量优良的天数为 ，求的概率分布列和数学期望.
22.已知点为抛物线内的一个定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于点，且分别是的中点.
（1）若 求三角形 面积的最小值；
（2）若，求证：直线过轴一定点.
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