淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试试题 2018.4
数 学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知集合， ，全集，则等于
A. B. C. D.
3． 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为
A. B. C. D.
4.若的展开式中的系数为30，则的值为
A. B. C. D.
5．已知成等差数列，成等比数列，则的值为
A. B. C. D.
6．
我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式 的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：
，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入
A. B. C. D.
7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体 的体积为
A. B. C. D.
8． 已知，给出下列四个命题：
其中真命题的是 A. B. C. D.
9．在中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为
A. 2 B. C. 3 D.
10．如图，直三棱柱中， ， ， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：
① 直线与直线是异面直线；② 一定不垂直；
③ 三棱锥的体积为定值； ④ 的最小值为.
其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则对任意
，函数的零点个数至多有
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个
12．已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（），点在轴上的射影恰好是双曲线的右焦点，过点作双曲线两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为， ，若平行四边形的面积为1，则双曲线的标准方程是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣1附近波动．经计算xi=11，yi=13，xi2=21，则实数b的值为 ．
14．若，则____________．
15．设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于
两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为
，则的值为___________.
16.设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上恒成立，则错误！未找到引用源。的最大值为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题12分）已知函数
的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在轴右侧的极小值点的横坐标组成数列，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项，试求数列的前项和．
18（本小题12分）、在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的大小 ．
19（本小题12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）[KS5UKS5U.KS5U
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）。当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？[KS5UKS5U]
20、（本小题12分）已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1,0)，M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为C1，A，B是直线x＝－2上的两点，满足AF⊥BF，曲线C1上过A，B的两条切线(异于x＝－2)交于点Q，求四边形AQBF面积的取值范围．
21．（本小题12分）设函数。
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。
[KS5UKS5U]
请考生在第22，23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分。
22、 （本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.[KS5UKS5UKS5U]
（I）求的极坐标方程.
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.
23. （本小题10分）(选修4-5：不等式选讲)已知函数 .
（I）当 时求不等式 的解集；（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题：
CDDBC AADBC AA
二、填空题：
2017
17．解析：
（1） 由图可知，，， ………………………2分
因为，所以， ………………………4分
由“五点法”作图，，解得，
所以函数的解析式为 ………………………6分
（2）易知为等差数列，设其公差为，则，
又函数在轴的右侧的第一个极值点横坐标为，
则有，得，所以，…………8分
， ………………………10分
.……12分
18、证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点，
∴A1O⊥AC，…（2分）
又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABC…（4分）
解：（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得O（0，0，0），A（0，﹣1，0），，，
∴，，…（6分）
设平面AA1B的一个法向量为，
则有
令x1=1，得，z1=1
∴…（8分）
设平面A1BC1的法向量为，
则有
令x2=1，则y2=0，z2=1，∴…（10分）
∴
∴所求二面角的大小为…（12分）
19.解：解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）==0.2，
P（X=300）=，
P（X=500）==0.4，
∴X的分布列为：
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
∴只需考虑200≤n≤500，
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；
若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，
∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，
当200≤n≤300时，
若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，
∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．
∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
20解：（Ⅰ）依题意得圆心C（0，1），半径r=4，
∵线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P，
∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4＞|CF|=2．
∴点P的轨迹方程是以C，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
即a=2，c=1，则b=22﹣1=3，
∴P的轨迹方程是．
（Ⅱ）依题意，直线AF斜率存在且不为零，设为y=k（x+1），
令x=﹣2得A（﹣2，﹣k），同理B（﹣2，）．
设过点A的切线为y=k1（x+2）﹣k，代入
得x+4[（2k1﹣k）2﹣3]=0．
由，解得，
同理k2==．
联立方程组：，解得x=﹣4．
∴=，当且仅当k=±1时等号成立，
∴四边形AQBF面积的取值范围是[3，+∞）．
21解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0， f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．
当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1]
22、解：（I）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为. ……5分
（II）将代入，得，解得[KS5UKS5U.KS5U
.故，即
由于的半径为1，所以的面积为. ……10分
23、解：
（I）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集为. ……5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为
,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.
所以的取值范围为. ……10分
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