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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学（理）
2019．5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，，则
A. B. C. D.且
开始
结束
输出
是
否
2. 复数的虚部为
A. B. C. D.
3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算.
根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制
的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出的值为
A.
B.
C.
D.
4.在△中，，，,则
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的首项为，公差.则“成等比数列” 是“”的
. 充分而不必要条件 . 必要而不充分条件
. 充要条件 . 既不充分也不必要条件
6. 已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7. 在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和
A. 有最小值 B.有最大值
C. 为定值 D. 为定值
8.在同一平面内,已知为动点,为定点,且, ,,为中点.过点作交所在直线于,则在方向上投影的最大值是
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9. 已知，，，则，，中最小的是 .
10.已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是 .
11.圆(为参数)上的点到直线(为参数)的距离最小值是 .
12. 已知实数满足能说明“若的最大值为，则”为假命题的一组值是 .
13.由数字组成没有重复数字的三位数，偶数共有
个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，.线段上的动点满足；线段上的动点满足.直线与直线交于点，设直线的斜率记为，直线的斜率记为，则的值为_______；当变化时，动点一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求证：.
16.（本小题满分13分）
某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照分组，绘成频率分布直方图如下：
0.5
a
0.2
7
8
9
10
评分
O
频率
组距
专家
A[
B
C
D
E
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
[]
（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，表示评分不小于9分的人数；试求与的值；
（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分.
方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.
请直接写出与的大小关系.
17.（本小题满分14分）
在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面. ，分别是边，的中点，线段与交于点，且，.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
18. （本小题满分13分）
已知函数(,且).
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）若函数的极小值为，试求的值.
[Z,X,X,K]
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过轴上的定点.
20.（本小题满分13分）
对于由有限个自然数组成的集合,定义集合, 记集合的元素个数为. 定义变换，变换将集合变换为集合.
（Ⅰ）若, 求;
（Ⅱ）若集合有个元素，证明:“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”;[]
（Ⅲ）若且，
求元素个数最少的集合.
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学（理）答案
2019．5
一、选择题：（本题满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
D
D
C
二、填空题：（本题满分30分）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
(答案不唯一)
双曲线
三、解答题：（本题满分80分）
15． (本小题满分13分)
解：（Ⅰ）
所以的最小正周期. ………….6分
（II）因为，即,
所以在上单调递增.
当时，即时，
所以当时， . ………….13分
16．(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是. ………….3分
（Ⅱ）的可能取值为.
；.
所以的分布列为
所以.
由题意可知，，所以. ………….10分
（Ⅲ）. ………….13分
17．(本小题满分14分)
(I)因为为中点，为中点.所以.
又因为平面，平面,
所以平面. ………….4分
(Ⅱ) 取的中点，连接.
显然，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系,[]
则，，，，,
,.
所以，，.
又因为，
,
所以.
又因为，所以平面. ………….9分
（Ⅲ）显然平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
又，，
由得
设，则，，则.
所以.
设二面角的平面角为，由图可知此二面角为锐二面角，
所以. ………….14分
18． (本小题满分13分)
解：由题意可知，.
（Ⅰ），，
所以曲线在点处的切线方程为. ………….3分
（Ⅱ）①当时，变化时变化情况如下表：
↘
极小值
↗
极大值
↘
此时,解得，故不成立.
②当时，在上恒成立，所以在单调递减.
此时无极小值，故不成立.
③当时，变化时变化情况如下表：
↘
极小值
↗
极大值
↘
此时极小值，由题意可得，
解得或.
因为，所以.
④当时，变化时变化情况如下表：
↘
极小值
↗
此时极小值，由题意可得，
解得或，故不成立.
综上所述. ………….13分
19． (本小题满分14分)
（Ⅰ）由题意可得 解得
所以椭圆的方程为. ………….4分
（Ⅱ）直线恒过轴上的定点.证明如下
（1） 当直线斜率不存在时，直线的方程为,
不妨设，，.
此时，直线的方程为：，所以直线过点.
（2）当直线的斜率存在时，设，,.
由得.
所以.
直线，令，得，
所以
.
由于，所以.
故直线过点.
综上所述，直线恒过轴上的定点. ………….14分
20． (本小题满分13分)
解：（Ⅰ）若集合, 则. ….3分
（Ⅱ）令.不妨设.
充分性：设是公差为的等差数列.
则
且.所以共有个不同的值.即.
必要性：若.
因为，.
所以中有个不同的元素：
.
任意() 的值都与上述某一项相等.
又，且，.
所以，所以是等差数列，且公差不为0.
….8分
（Ⅲ）首先证明: . 假设, 中的元素均大于, 从而, 因此, , 故, 与矛盾, 因此.
设的元素个数为, 的元素个数至多为, 从而的元素个数至多为. 若, 则元素个数至多为, 从而的元素个数至多为, 而中元素至少为26, 因此.
假设有三个元素, 设, 且, 则
从而.若, 中比大的最小数为,则, 与题意矛盾, 故.
集合中最大数为, 由于, 故, 从而.
(i)若且. 此时, , 则有, 在22与28之间可能的数为
.
此时23,24,25,26不能全在中, 不满足题意.
(ii)若且. 此时, , 则有
,
若, 则或
解得或.
当时, , 不满足题意.
当时,
满足题意.
故元素个数最少的集合为 ………….13分
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