北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模）数学（文）试题含答案.doc

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）‎ ‎ 高三数学 （文科） 2019.5‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值 分别为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）若满足，则点到点距离的最小值为 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 ‎ 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是经典的六柱鲁班锁及六 个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的 体积为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知为正整数，且，则在数列中，“”是“是等比数列”的 ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终 边分别是射线OA和射线OB. 射线OA，OC与单位圆的交点分别为 ‎，.若，则的值是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）在交通工程学中，常作如下定义：‎ 交通流量（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；‎ 车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；‎ 车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.‎ ‎ 一般的，和满足一个线性关系，即（其中是正数），则以下说法正确的是 ‎ （A）随着车流密度增大，车流速度增大 ‎（B）随着车流密度增大，交通流量增大 ‎（C）随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 ‎（D）随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（ 9 ）双曲线的渐近线方程为 . ‎ ‎（10）复数的实部为 ；虚部为 . ‎ ‎（11）在中，，，，则 ；____________.‎ ‎（12）已知，，，则满足的一个正整数为 .‎ ‎（13）如图，矩形中，，，为的中点. ‎ 当点在边上时，的值为 ；当点沿着 ‎，与边运动时，的最小值为 . ‎ ‎（14）已知直线过点，过点作直线，垂足为，则点到点距离的取值范围为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 设数列满足：，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式及前项和；‎ ‎（Ⅱ）若等差数列满足， ，问：与的第几项相等？‎ ‎[Z,X,X,K]‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的最大值. ‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修. 现有甲、乙两名工人同时 从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.‎ ‎[‎ 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 ‎7日 ‎8日 ‎9日 ‎10日 甲维修的元件数 ‎3[‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎4‎ 乙维修的元件数 ‎4‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎（I）从这天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；‎ ‎（II）试比较这10天中甲维修的元件数的方差与乙维修的元件数的方差的大小.（只需写出结论）；‎ ‎（III）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件 不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人.‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图所示的五面体中，平面平面, ,,∥，,，．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）设点为线段上的动点，求证：与不垂直．‎ ‎（19）（本小题13分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 已知椭圆的一个焦点为，离心率为.为椭圆的左顶点，为 椭圆上异于的两个动点，直线与直线分别交于两点.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若与的面积之比为，求的坐标；‎ ‎（III）设直线与轴交于点，若三点共线，求证：.‎ 北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）‎ ‎ 数学（文科）参考答案及评分标准 2019.5‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）A （2）D （3）D （4）C ‎（5）C （6）B （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）； （11）； ‎ ‎ （12）0 （答案不唯一） （13）； （14） ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ （15） ‎（共13分）‎ 解: （Ⅰ）依题意，数列满足：，， ‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列.‎ 则的通项公式为，‎ 前项和. ………………………. 7分 ‎（Ⅱ）由 (Ⅰ) 可知，， ，‎ 因为为等差数列， .‎ 所以的通项公式为.‎ 所以.‎ 令，解得.‎ 所以与数列的第项相等. …………………..13分 ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由图象可知，.‎ ‎ 因为，所以.‎ 所以. 解得.‎ 又因为函数的图象经过点，所以 .‎ 解得.‎ 又因为，所以.‎ 所以. …………………………………………………………. 7分 ‎（Ⅱ）因为 ，所以，‎ 当时，即时， 单调递增，‎ 所以，符合题意；‎ 当时，即时，单调递减，‎ 所以，符合题意；‎ 当时，即时，单调递减，‎ 所以，不符合题意；‎ 综上，若对于任意的，有恒成立，则必有，‎ 所以的最大值是. ………………………………………..13分 ‎（17）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设表示事件“从这天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．‎ 根据题意，． …………………………………………………….4分 ‎（Ⅱ）. ……………………………………………………………………………………….8分 ‎（Ⅲ）设增加工人后有名工人.‎ 因为每天维修的元件的平均数为 所以这名工人每天维修的元件的平均数为.‎ 令. 解得. 所以的最小值为4．‎ 为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人 ‎……….13分 ‎（18）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）取中点，连接．‎ ‎ 在△中，， ‎ ‎ 所以.‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面,‎ ‎ 所以平面．‎ 又因为，，所以.‎ 因为∥，，，，‎ 所以.‎ 所以. …………….5分 ‎（Ⅱ）因为∥，平面，平面，‎ ‎ 所以∥平面．‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以∥．‎ 因为平面，平面，‎ 所以∥平面．…………….10分 ‎（Ⅲ）连接，假设.‎ 由（Ⅰ）知平面，‎ ‎ 因为平面,所以．‎ 因为, 且， ‎ ‎ 所以平面．‎ ‎ 因为平面，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 在△中，，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以．‎ ‎ 这与矛盾．‎ ‎ 所以假设不成立，即与不垂直．…………….14分 ‎（19）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）定义域为，.‎ ‎. .‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ 即.…………….5分 ‎（Ⅱ）记.‎ ‎.‎ 由解得．‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎[]‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 所以在时取得最小值． ‎ 所以.所以.‎ 所以在上单调递增.‎ 又由知，‎ 当时，，，所以；‎ 当时，，，所以.‎ 所以. ………………………………13分 ‎（20）（共14分）‎ 解：（I）由题意得解得 因为，所以.‎ 所以椭圆的方程为. ………………………………4分 ‎（II）因为与的面积之比为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 设，则，‎ 解得.‎ 将其代入，解得.‎ 所以的坐标为或. ……………………………… 8分 ‎（III）设，‎ 若，则为椭圆的右顶点，由三点共线知，为椭圆的左顶点，‎ 不符合题意.‎ 所以.同理.‎ 直线的方程为.‎ 由消去，整理得.‎ 成立.‎ 由，解得.‎ 所以.‎ 所以.‎ 当时，，，即直线轴. ‎ 由椭圆的对称性可得.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 当时，，‎ 直线的斜率.‎ 同理.‎ 因为三点共线，‎ 所以.‎ 所以.‎ 在和中，‎ ‎，，‎ 所以.‎ 因为均为锐角，‎ 所以.‎ 综上，若三点共线，则. ………………………………14分