北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）
2019.5
数学 （理科）
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
(A) (B) (C) (D)
（2）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值分别为
（A）， （B），
（C）， （D），
（3）已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件为
(A) (B)
(C) (D)
（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春
秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁
及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：），
则此构件的体积为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为
(A) 84 (B) 42 (C) (D)
（7）已知正方体的棱长为，是底面上的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于
(A) (B) (C) (D)
（8）在交通工程学中，常作如下定义：
交通流量（辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；
车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；
车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.
一般的， 和满足一个线性关系：（其中是正数），则以下说法正确的是
(A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大
(B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大
(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大
(D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）已知复数在复平面内对应的点为，则关于虚轴对称的点位于第 象限.
（ 10 ）已知，，若，，则满足条件的可以为_____.
（ 11）椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点若四边形的面积为4，则点的坐标为_______, 的离心率为__ ．
（ 12）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则= .
（13）设关于的不等式组表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则的取值范围是 .
（14）已知函数，，对于任意实数，当时，记的最大值为.
①若，则 ；
②若则的取值范围是 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
如图，在四边形中，
（Ⅰ）求的正弦值；
（Ⅱ）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.
（16）（本小题13分）
某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
9日
10日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.
（Ⅰ）求的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若，且，求最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？ （只需写出结论）
（17）（本小题14分）
如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，∥，，，，，，平面与平面交于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；
若不存在，说明理由．
（18）（本小题13分）
已知点到抛物线准线的距离为2.
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，直线分别交轴于两点.求的值.
（19）（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
（20） （本小题13分）
若行列的数表满足：，，，记这样的一个数表为.对于记集合表示集合中元素的个数.
（Ⅰ）已知写出的值；
（Ⅱ）是否存在数表满足若存在，求出，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对于数表，求证：.[]
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）
2019.5
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）D （3）C （4）C
（5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）四 （10）（答案不唯一）
（11） （12）
（13） （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△中，设，
由余弦定理得，
整理得，解得.
所以
由正弦定理得，解得 ............................6分[]
（Ⅱ）由已知得，
所以，
化简得
所以
于是
因为，且为锐角，
所以.
因此 ...............13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意可知， X的所有可能取值为 ，
且；；；
；.
所以的分布列为：
X
9
12
15
18
24
P
故的数学期望.............................5分
（Ⅱ）当取到最大值时，
的只可能为：或或
经计算，，，
所以的最大值为. ............................10分
（Ⅲ）至少增加2人 ............................13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）在四边形中，∥．
因为平面，平面，
所以∥平面．
因为平面，且平面平面，
所以∥． ............................4分
（Ⅱ）如图，取的中点，连接，.在等腰△中，
因为平面平面，交线为，
又，所以平面.
所以
由题意易得
如图建立空间直角坐标系，
则，，，
，．[
因为，所以.
设平面的法向量为
则 即
令，则．
于是．
又平面的法向量为，
所以．
由题知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为. ............................9分
（Ⅲ）不存在满足条件的点，使，理由如下：
若，则．
因为点为线段上的动点，设，．
则，
解得．
所以，．[]
所以．
整理得，此方程无实根．
所以线段上不存在点，使. ............................14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知得，所以
所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 ............................4分
（II）设点,，由已知得，
由题意直线斜率存在且不为0.
设直线的方程为 .
由得，
则.
因为点在抛物线上，所以，，
，
因为轴，
所以[
.
所以的值为2. ............................13分
（19）（共14分）
解： （Ⅰ）因为，
所以，，，
所以曲线在点处的切线方程为 ............................5分
（Ⅱ）因为，所以，，
当时，恒成立，恒成立，
所以不等式在区间上恒成立.
当时，设，
，
若，，，
所以在区间上恒成立；
若，，，，
所以在区间上恒成立；
所以在区间上单调递增，
所以当时，不等式在区间上恒成立；
当时，令，
，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，，，
所以存在，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，取得极小值；
而，所以，所以不等式在区间上不能恒成立，
所以不等式在区间上恒成立时实数的取值范围是..............14分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） . ............................3分
（Ⅱ）不存在数表，使得.理由如下：
假设存在，使得.不妨设，
的可能值为.
当时，经验证这样的不存在.
当时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，
不妨设，所以有，
这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，
这样的只能为或，
这两种情况都与矛盾. ..............8分
（Ⅲ） 在数表中，将换成，这将形成，
由于，可得
从而.
当时，由于，
所以任两行相同位置的1的个数.
又由于，而从1到的整数个数，从而
..............13分
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