2019届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2019．5
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{－1，0，2，3}，A＝{0，3}，则∁UA＝________．
2. 已知复数z＝(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．
3. 右图是一个算法流程图．若输出y的值为4时，则输入x的值为________．
4. 已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy＝90，则该组数据的方差为________．
5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．
6. 已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．
7. 已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn.若a3－a2＝4，a4＝16，则S3的值为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为________．
9. 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝3 cm，BC＝1 cm，CD＝2 cm.将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm3.
10. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin 2x与y＝tan x在(，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．
11. 如图，在正六边形ABCDEF中，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
(第11题)
(第12题)
12. 如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．
13. 已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．
14. 在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若·＋·＝·，则CB＋CD的最小值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)．
(1) 求角C的值；
(2) 若a＝4b，求sin B的值．
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP＝BC，点E，F分别是PC，AD的中点．求证：
(1) BE⊥CD；
(2) EF∥平面PAB.
(本小题满分14分)
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A(0，)，圆O：x2＋y2＝经过点M(0，1)．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．
18. (本小题满分16分)
南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.
(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；
(2) 当风筝面AEA′F的面积为 m2时，求点A′到AB距离的最大值．
19. (本小题满分16分)
已知数列{an}满足(nan－1－2)an＝(2an－1)an－1(n≥2)，bn＝－n(n∈N*)．
(1) 若a1＝3，求证：数列{bn}是等比数列；
(2) 若存在k∈N*，使得，，成等差数列．
①求数列{an}的通项公式；
②求证：ln n＋an＞ln(n＋1)－an＋1.
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝(a≠0)，e是自然对数的底数．
(1) 当a＞0时，求f(x)的单调增区间；
(2) 若对任意的x≥，f(x)≥2eb－1(b∈R)，求的最大值；
(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋ex＜0的解集.
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修42：矩阵与变换)
已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝的逆矩阵A－1＝.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线y＝2x＋1，求曲线C的方程．
B. (选修44：坐标系与参数方程)
在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为(4，)，(2，)，曲线C的方程为ρ＝r(r>0)．
(1) 求直线AB的直角坐标方程；
(2) 若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．
C.(选修45：不等式选讲)
已知a∈R，若关于x的方程x2＋4x＋|a－1|＋|a|＝0有实根，求a的取值范围．
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．
表1
文章学习积分
1
2
3
4
5
概率
表2
视频学习积分
2
4
6
概率
(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；
(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
(1) 求2P2－Q2的值；
(2) 化简nPn－Qn.
2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)
数学参考答案及评分标准
1. {－1，2} 2. －3 3. －1 4. 5. 6. (－2，0)∪(2，＋∞) 7. 14 8. 2 9. 10. －
11. 12. 13. － 14.
15. 解：(1) 在△ABC中， 因为a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin B＋sin C)，
由正弦定理＝＝，
所以a(a－b)＝(b＋c)(c－b)，(3分)
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得cos C＝.(5分)
因为00)，
因为点F到AB与BD的距离相等，
所以b＝，解得b＝或b＝－6(舍去)．(4分)
所以△ABF的面积为×2×＝ m2，
所以四边形ABA′F的面积为 m2.
答：风筝面ABA′F的面积为 m2.(6分)
(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.
在直角三角形ABD中，tan 2θ＝＝，(2分)
所以＝，解得tan θ＝或tan θ＝－3(舍去)．
所以AF＝ABtan θ＝.(4分)
所以△ABF的面积为×2×＝ m2，所以四边形ABA′F的面积为 m2.
答：风筝面ABA′F的面积为 m2.(6分)
(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系．
设AE＝a，AF＝b，A′(x0，y0)，
则直线EF的方程为bx＋ay－ab＝0.
因为点A，A′关于直线EF对称，
所以
解得y0＝.(10分)
因为四边形AEA′F的面积为，所以ab＝，所以y0＝＝.
因为01，
从而只需证：当t>1时，t－>2ln t．(12分)
设f(x)＝x－－2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋－＝(－1)2>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x－>2ln x.
因为t>1，所以t－>2ln t，所以原不等式得证．(16分)
20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞)．
由f′(x)＝＝，(2分)
令f′(x)>0，因为a>0，得x>e－.
因为e－>e－1，所以f(x)的单调增区间是(e－，＋∞)．(4分)
(2) 当a
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