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“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017-2018学年第二学期第一次月考
高二文科数学试卷
（考试时间：120分钟 总分150分）
一.选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
1.设复数的共轭复数为，若(为虚数单位)，则在复平面内的
第一象限内 第二象限内 第三象限内 第四象限内
2.已知条件，条件，则是成立的
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
3.已知命题，命题在中，若，则.则下列命题为真命题的是
4.以下说法，错误的个数为
①农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．
②公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．
③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理．
④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．
5.用反证法证明：“若，求证:中至少有一个大于”时，下列假设正确的是
假设都不大于1 假设都小于1
假设至多有一个大于1 D. 假设至多有两个大于1
6.执行图中的程序框图(其中表示不超过的最大整数)，则输出的值为
7. 某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表
使用智能手机
不使用智能手机
合计
学习成绩优秀
4
8
12
学习成绩不优秀
16
2
18
合计
20
10
30
附表：
请参考公式，通过计算判断下列选项正确的是：
有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响
8.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的方程为,直线的参数方程为（为参数）.设圆与直线交于两点，若点的坐标为，则弦长等于
9.已知函数的极小值点是，则
或 或
10.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是
11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给丙看乙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
丙可以知道四人的成绩 丙，丁可以知道自己的成绩
乙、丁可以知道对方的成绩 乙、丁可以知道自己的成绩
12. 已知函数在处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：
①；②；③；④；⑤
①④ ②④ ②⑤ ③⑤
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数的虚部为 .
14.已知函数的图像在处的切线与直线 平行，则的值是 .
15.已知抛物线的焦点为，准线为．若射线（）与抛物线和分别交于两点，则 .
16.已知椭圆具有以下性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，与
之积是与点的位置无关的定值．类比椭圆的性质：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，与之积是与点的位置无关的定值，则这个定值为
.
三.解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为(为参数)．
(Ⅰ)求线段的中点的极坐标；
(Ⅱ)判断直线与圆的位置关系.
18.（本小题满分12分）
已知函数（其中），若在处取得极值.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为,点为坐标原点.
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)过点的直线交抛物线于两点，求证：以为直径的圆恒过坐标
原点.
20.（本小题满分12分）
从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
上一年的出险次数
0
1
2
3
4
5次以上(含5次)
下一年的保费倍率
85%
100%
125%
150%
175%
200%
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(其中(万元)表示购车价格，(元)表示商业车险保费)：(8,2 150)，(11,2 400)，(18,3 140)，(25,3 750)，(25,4 000)，(31,4 560)，(37，5 500)，(45，6 500)．设由这8组数据得到的回归直线方程为.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)广东李先生2016年1月购买一辆价值万元的新车．
(i)估计李先生购车时的商业车险保费．
(ⅱ)若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费(即不出险)，你认为李先生是否应该接受建议?并说明理由．(假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保)
21.（本小题满分12分）.
已知椭圆的左焦点为，点的坐标为且，椭圆的离心率为．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于、两点, 设线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积的取值范围．
22.（本小题满分12分）
设函数（其中）．
(Ⅰ)若，求函数的单调区间；
(Ⅱ)讨论函数的零点个数．
“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017-2018学年第二学期第一次月考
高二文科数学参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分）
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二、填空题（每题5分，满分20分)
；；；
三.解答题 （本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)由题意知，点的直角坐标分别为，，
又为线段的中点，所以点的直角坐标为，
故线段的中点的极坐标为. ……5 分
（Ⅱ）因为直线上两点M，N的直角坐标分别为，，所以直线的直角坐标方程为，又圆C的圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离，
故，直线与圆相交． ……10 分
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)，
依题意知
解得：，经检验符合题意. ……4分
（Ⅱ）由（1）知，
令得
当时，，在上单调递增，
当时，，故在单调递减，
当时，，故在单调递增；
所以，在处取得的极小值；又
所以，当时，的最小值为.
因此，，所以. ……12分
19.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)因为焦点为，所以，所以抛物线方程为.……4分
(Ⅱ)设直线方程为.
由，得.
则，. ……8分
所以，
所 以，为直径的圆恒过坐标原点. ……12分
20.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)（万元）
回归直线经过样本点的中心，即
所以， ……6分
（Ⅱ）(ⅰ)价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为：
（元）．
(ⅱ)由于该车已出过一次险，若再出一次险，
则保费增加，即增加(元)．
因为852.75>800，所以应该接受建议． ……12分
21.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)依题意，，因为，故.
因为，故，故，
故椭圆的标准方程为 ………5分
（Ⅱ）设直线的方程为.
由
消去并整理得.易知，
设，则， ………7分
设是线段的中点，则
线段的垂直平分线的方程为，
令，得.
因为，所以 ………10分
因为，
所以，的取值范围是 ………12分
22. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)函数的定义域为，，
当时，令，解得或， ………3分
所以在和上单调递增，在上单调递减
………5分
（Ⅱ）由，
所以①当时，令得知，
当时，
，
此时无零点； ………6分
当时，，，
又在上单调递增，所以在上有唯一的零点，
故函数在定义域上有唯一的零点， ………8分
②当时，令得
当时，，
此时无零点； ………10分
当时，，，
令，则，
因为在上单调递增，，
所以在上单调递增，得，即，
所以在上有唯一的零点，
故函数在定义域上有唯一的零点．
综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．
………12分
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