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“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017-2018学年第二学期第一次月考
高二数学（理科）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知复数满足，则( )
A． B． C． D．
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
3.已知，，若，则（ ）
A. B. C. , D.,
4.已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5.设复数在复平面内对应的点为,则点关于虚轴对称的点为（ ）
A． B． C． D.
6.已知，
则（ ）
A、70 B、68 C、69 D、71
7.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度
8.在长方体中，已知,,则异面直线与所成角的余弦值（ ）
A. B. C. D.
9．,则实数等于( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
10.在直棱柱中，底面是等腰三角形，,侧棱,分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
11.函数的图象大致是（ ）
A B C D
12．已知函数，若，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置)
13. ．
14.已知（为虚数单位，），则 ．
15.某节晚自习课堂上，小明向值班老师报告说：有同学在玩手机游戏，四名可疑同学被请到数学组办公室，四人陈述如下：
甲：我们四人都没有玩； 乙：我们四人中有人玩；
丙：乙和丁至少有一人没玩； 丁：我没有玩.
若四人中有两人说的是真话，有两人说的是假话，则说真话的是 ．
16.在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则= ．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)设为坐标原点，已知复数分别对应向量，为复数的共轭复数，，其中，且为纯虚数．
（Ⅰ）判断复数在复平面上对应的点在第几象限；
（Ⅱ）求.
18. (本题满分12分) 已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在处的切线方程.
19. (本题满分12分)如图，在中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当时，求与平面所成角的正弦值.
20．(本题满分12分) “世界陶瓷之都”德化县，最有名的就是陶瓷了，然而德化特产也是丰富多彩的。德化人用它们天然的色彩进行归类，变得像口诀一样好记，三黑“黑鸡、黑兔、黑羊”，三黄“德化梨、黄花菜、山茶油”，三白“大米、淮山、白萝卜”，三红“红米、红菇、红酒”。为了提高经济效益，某食品厂进行淮山的深加工，每公斤淮山的成本20元，并且每公斤淮山的加工费为元（为常数，且，设该食品厂每公斤淮山的出厂价为
元（），销售量，且（为自然对数的底）。根据市场调查，当每公斤淮山的出厂价为30元时，日销售量为100公斤。
（Ⅰ）求该工厂的每日利润元与每公斤淮山的出厂价元的函数关系式；
（Ⅱ）若，当每公斤淮山的出厂价为多少元时，该工厂的利润最大，并求最大值．
21. (本题满分12分)观察下列不等式： ，…，
（Ⅰ）请写出第五个不等式，你能归纳推理出第n个不等式的一般形式吗？
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的推论.
22. (本题满分12分)已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，设函数有唯一零点，求的值.
“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017-2018学年第二学期第一次月考
高二数学（理科）试卷
参考答案及评分标准
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
D
A
D
B
A
B
B
C
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 0 14. -1 15. 乙和丙 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17.(本题满分10分)
解：（Ⅰ）由题意，得，
则.........................2分
因为为纯虚数，
所以， ..............................3分
解得或...............................4分
又因为，所以，.......................5分
所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以...........................8分
..........................10分
18. (本题满分12分)
解：（Ⅰ）由已知得 …………………………………1分
因为函数在处取得极值
所以，即 …………………………………4分
解得 …………………………………6分
经检验，当时，函数在处取得极值 ……………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………8分
切线斜率 …………………………………9分
又切点为
切线方程为，即 …………………………………12分
19.(本题满分12分)
证明：（Ⅰ）
,翻折后垂直关系没变，仍有,
…………4分
（Ⅱ） ,二面角的平面角，…………5分
，又,由余弦定理得,
,,两两垂直……………………6分
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系。
则
……8分
设平面的法向量
由可得…………10分
故与平面所成的角的正弦值为 …………12分
20. (本题满分12分)
解：（Ⅰ）设由已知得 …………………………………2分
日销量 …………………………………………………………………3分
． …………………………………………6分
（Ⅱ）当时， ……………………………………………7分
…………………………………………………………………8分
，
………………………10分
………………………………………………………11分
当每公斤淮山的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为元．
……12分
21.(本题满分12分)
解：（Ⅰ） ……1分
根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：
……4分
（Ⅱ）用数学归纳法证明如下：
（1）当，猜想成立 …………5分
（2）假设当时，猜想成立，即， …………6分
则当时，
，
即当时，猜想也正确， …………11分
由（1），（2）知对任意的，不等式都成立． ……12分
22．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知函数为
…………………………………1分
①当时，在上恒成立
此时函数在上单调递增 …………………………………2分
②当时，令，则或（舍去）
当时，， 当时，
此时函数在上单调递减，在上单调递增 …………………………4分
（Ⅱ）由题可知， .
令，即，
因为，所以 (舍去)， . …………5分
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增， …………………………6分
所以的最小值为. …………………………………7分
因为函数有唯一零点，所以， …………………………………8分
由即 …………………………………9分
可得，因为，所以，
设函数，因为当时该函数是增函数，
所以至多有一解. …………………………………10分
因为当时，， …………………………………11分
所以方程的解为，即，解得. …………………………12分
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