2017级高二下学期期中佛山一中、珠海一中、金山中学三校联考
文科数学试题
命题学校：汕头市金山中学 命题人：郭荣斌
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
⒈设集合，，则( )
A． B． C． D．
⒉已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
⒊设、分别为双曲线的左右焦点，点为左支上一点，且，
则的值为（ ）
A． 1 B．2 C．5 D． 6
⒋角A是△ABC的一个内角，若命题p：A＜，命题q：sinA＜，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
⒌如右图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）
A. B. C. D.
⒍已知满足约束条件，则的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
⒎已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为，
若，则该椭圆的离心率为（ ）
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
A． B． C． D．
⒏执行如下图所示的程序框图，若输出k的值为5，则判断框内可填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9.函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10. 对于大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
⒒如右图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
⒓若存在唯一的正整数，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13.已知函数(为自然对数的底数)，且函数在点处的切线
斜率为1，则_______
14.等差数列的公差为，若，，成等比数列，则数列的前项和=_______
⒖直线与圆相交于两点，
若，则实数的取值范围是 ．
16. 在中，角的对边分别为，若，且的面积，则的最小值为_______
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
为数列的前项和，已知，且.
（1）求证：为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某手机厂商推出一款吋大屏手机，现对名该手机使用者（名女性，名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
女性用户：
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
分值区间
频数
男性用户：
分值区间
频数
⑴男性用户的频率分布直方图如右下图，请完成女性用户的频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；
女性用户 男性用户
⑵如果评分不低于分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对手机的“认可”有关；
女性用户
男性用户
合计
“认可”手机
“不认可”手机
合计
500
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
附:
，其中.
19.（本小题满分12分）
如右图，是圆的直径，是圆上除、外的一点，
平面，四边形为平行四边形，，．
⑴求证：平面；
⑵当三棱锥体积取最大值时，求此刻点到平面的距离．
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
⒛（本小题满分12分）
已知抛物线:的焦点为点在该抛物线上，且.
⑴求抛物线的方程;
⑵直线与轴交于点E,与抛物线相交于，两点, 自点，分别向直线作垂线，垂足分别为,记的面积分别为.
试证明:为定值.
21．（本小题满分12分）
已知函数，.
⑴求函数的单调区间;
⑵ 是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
请考生从第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线： （为参数）， ：（为参数）.
（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直线距离的最小值.
23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知函数的解集为．
（1）求的值；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围．
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
2017级高二下学期期中佛山一中、珠海一中、金山中学三校联考
文科数学参考答案
1-12：CCDAA DDBBC DB
13．； 14.； 15．； 16．.3
17.（1）， ①
当时, ② …………2分
②-①得， …………3分
即， …………4分
∵，∴ …………5分
即，
∴为等差数列 …………6分
（2）由已知得，
即 …………7分
解得（舍）或 …………8分
∴ …………9分
∴ …………10分
∴
…………11分
…………12分
18.解：⑴女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
女性用户 男性用户 …………3分
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． …………5分
⑵列联表如下图：
女性用户
男性用户
合计
“认可”手机
140
180
320
“不认可”手机
60
120
180
合计
200
300
500
…………7分
， …………9分
又0.05 且5.208>3.841 …………10分
所以有的把握认为性别和对手机的“认可”有关． …………12分
19.解：⑴是圆直径， 是圆上除、外的一点 …………1分
平面，
…………2分
又，
平面 …………3分
又四边形为平行四边形
， …………4分
平面 …………5分
⑵由⑴知为三棱锥的高
平面 …………6分
又四边形为平行四边形．
…………7分，
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
， …………8分
等号当且仅当时成立 …………9分，
此时，，
…………10分
设点到平面的距离为，
则
…………12分．
20.解：⑴抛物线焦点为准线方程为 …………1分
点在该抛物线上 ① …………2分
依定义及得 ② …………3分
由①②解得
抛物线的方程为 …………4分
⑵由 消得 …………5分
设，则 …………6分
则
…………7分
…………9分
又
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
…………10分
…………11分
…………12分
21. 解：⑴函数的定义域为. …………1分
① 当时，，∵ ∴
∴ 函数单调递增区间为. …………2分
② 当时，令得， .
（ⅰ）当，即时， ，
∴ 函数的单调递增区间为. …………3分
（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为
，.
若，则，此时，当时，.
∴函数的单调递增区间为， …………4分
若，则，
此时，当时，,单调递增
当时，单调递减 …………5分
综上，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为；
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
当时，函数的单调递增区间为. …………6分
⑵ 解：由(1)得当时，函数在上单调递增，
故函数无极值； …………7分
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
；
则有极大值，其值为， …………8分
其中.
而，∴ …………9分
设函数，则，
则在上为增函数.
又，故等价于.
因而 等价于. …………10分
即在时，方程的大根大于1，
设，由于的图象是开口向下的抛物线，且经过点(0,1)，对称轴，则只需，即
解得，而，
故实数的取值范围为. …………12分
22. 解: （1），
为圆心是，半径是的圆. …………3分
为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆. ……………4分
（2）当时，， ……………5分
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
设 则，
为直线， …………7分
到的距离
从而当时，取得最小值 …………10分
23. 解：，所以，
， 或 ， …………2分
又 的解集为．
故. …………4分
等价于不等式， …………5分
， …………7分
故， …………8分
则有，即，解得或
即实数的取值范围 …………10分
2017级高二下学期三校联考 第 11 页 （共 5页）
微信/支付宝扫码支付