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广东实验中学 2018-2019 学年（下）高二级模块考试
文科数学
本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能
答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答
案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若复数 2 1 ( 1) (z a a i i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值是( )
A．-1 和 1 B．1 C．-1 D．0
2．“( 1)( 3) 0x x ”是“ 1x ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的焦距为 10，且其虚轴长为 8，则双曲线 C 的方程
为 ( )
A． 16436
22
yx B． 13664
22
yx C．
2 2
19 16
x y D．
2 2
116 9
x y
4． a ，b
为平面向量，已知 (1,2)a ， (1,0)b
，则 a ，b
夹角的余弦值等于( )
A． 5
5
B． 5
5 C． 1
5
D． 1
5
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5．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行
业岗位分布条形图，如图所示．
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技
行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30% ；③该高科技行业中从事运营岗位的人员
主要是本科生．其中正确的个数为( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
6．设 ( ) sinf x x x ，则 ( )(f x )
A．是有零点的减函数 B．是没有零点的奇函数
C．既是奇函数又是减函数 D．既是奇函数又是增函数
7．若 3cos( )4 5
，则sin 2 ( )
A． 7
25
B． 1
5
C． 1
5 D． 7
25
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文
字记载见于《九章算术•方田章》．如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田
所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随
机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为( )
A． 12
B． 2 2
C． 1
4 2
D． 3
2 4
9．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，O 为 AC 的中点，则异面直线 1AD 与 1OC 所成角的余弦值
为 ( )
A． 1
2 B． 3
3 C． 3
2 D． 2 5
5
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10．函数 ( ) cos 3 sin( )3f x x x ， ]2,0[ x 的最大值为( )
A．
2
3
B．1 C．2 D． 3 1
11．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F ，点 0(M x ， 2 2) 是抛物线C 上一点，圆 M
与线段 MF 相交于点 A ，且被直线
2
px 截得的弦长为 3 | |MA ，若 | | 2| |
MA
AF ，则 p （ ）
A．3 B．2 C． 3
2 D．1
12．若对 lx ， 2 ( , )x m ，且 2lx x ，都有 1 2 2 1
2 1
1x lnx x lnx
x x
，则 m 的取值范围是( )
注：(e 为自然对数的底数，即 2.71828 )e
A． ),1[ e B． ),[ e C． ),1[ D． ),1[
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在极坐标系中，圆心为 (2, )2
且过极点的圆的极坐标方程为 ．
14．若双曲线 )0(14
2
2
2
ay
a
x 的一条渐近线方程过（1，），则此双曲线的离心率
为 ．
15．设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 1a ，且对任意正整数 n 都有 1
1
1n
n n
a
S S
，
则 50a ．
16．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知5 8a b ， 2A B ，则 )2sin( A
= ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{ }na 为等比数列， 2 4a ， 3 2a 是 2a 和 4a 的等差中项．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设 nab n
nn )1(log2 2 ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT ．
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18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD
交于点 F ，侧面 SBC 是边长为 2 的等边三角形， E 为 SB 的中点．
（1）证明： / /SD 平面 AEC ；
（2）若侧面 SBC 底面 ABCD ，求点 E 到平面 ASD 的距离．
19．（本小题满分 12 分）
某企业共有员工 10000 人，如图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入（单位：万元）
频率分布直方图
（1）根据频率分布直方图估算该企业全体员工中年收入
在[10,11）的人数；
（2）若抽样调查中收入在[9 ，10) 万元员工有 2 人，求
在收入在[9 ，11) 万元的员工中任取 3 人，恰有 2 位员
工收入在[10 ，11) 万元的概率；
（3）若抽样调查的样本容量是 400 人，在这 400 人中：
年收入在[9 ，10) 万元的员工中具有大学及大学以上学历的有 40% ，年收入在[13 ，14) 万
元的员工中不具有大学及大学以上学历的有30% ，将具有大学及大学以上学历和不具有
大学及大学以上学历的员工人数填入答卷中的列联表，并判断能否有99% 的把握认为具
有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b b c a c b d
2
0( )P K k 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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20．（本小题满分 12 分）
已知曲线 2 2 2
1 : ( 0)C x y r r 和
2 2
2 2 2: 1( 0)x yC a ba b 都过点 (0, 2)P ，且曲线 2C 的离
心率为 3
2
．
（1）求曲线 1C 和曲线 2C 的方程；
（2）设点 A ，B 分别在曲线 1C ， 2C 上，PA ，PB 的斜率分别为 1k ， 2k ，当 1 24 0k k 时，
问直线 AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 21( ) (2 1) 22f x ax a x lnx ．
（1）当 1a 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 0a 时，证明： ( ) 2 4xf x e x （其中e 为自然对数的底数）．
22．（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为{ cos
sin3
x
y （α 为参数），以坐标原点为极点，
以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 2 24
．
（1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）设点 P 在 1C 上，点Q 在 2C 上，求| |PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标．
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