广东实验中学2018-2019学年高二阶段性测试理科数学参考答案.pdf

1 广东实验中学 2018—2019 学年（下）高二级期中测试 数 学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题： CBAD CDDD BBAA 二、填空题：13. 21 +22 14. 120 15. 9 2  16. 182 53− 三、解答题 17.(本题 10 分) 解：（1）由题可知： 2 6 2 14=a a a ，所以 2(6 5 ) =(6+ )(6+13 )d d d+ ——2 分 化简得： 2 20dd−= ——3 分 因为 0d  ，所以 =2d ——4 分 所以 24nan=+ ——5 分 （2） 2 1 1 1 ( 1)(2 4) ( 1)( 2) 1 2nb n n n n n n= = = −+ + + + + + ——7 分 所以 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1... ( ) ( ) ( ) ... ( )2 3 3 4 4 5 1 2nnS b b b b nn= + + + + = − + − + − + + −++ ——9 分 1 1 1 2 2 2( 2)nn= − =++ ——10 分 18. (本题 12 分) 证明：（1）由题知 24= 3   ，解得 3= 2 ——2 分 由题得： sin sin 2 cos cos sin cos B C B C AA + − −= 所以：sin cos sin cos 2sin cos sin cos sinB A C A A B A C A+ = − − sin cos cos sin sin cos cos sin 2sinB A B A C A C A A+ + + = sin( ) sin( ) 2sinA B A C A+ + + = sin sin 2sinC B A+= 由正弦定理可得： 2c b a+= ——5 分 （2）因为 ，bc= ，所以 abc==，所以 ABC 为等边三角形 ——6 分 2 22 13sin24 3sin ( 2 cos )4 5 3 5 3sin 3 cos 2sin( )4 3 4 OACB AOB ABCS S S OA OB AB OA OB OA OB      = + =   + = + + −  = − + = − + ——9 分 2 因为 ( )0, ，所以 2,3 3 3    −  − ——10 分 当且仅当 32  −=，即 5 6  = 时， ——11 分 OACBS 取得最大值，且最大值为 532 4+ . ——12 分 19．(本题 12 分) 解：(1)在梯形 ABCD 中，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°， ∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∠BDC＝∠CBD＝30°， ∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝90°，即 AD⊥BD. ——3 分 又平面 BFED⊥平面 ABC，平面 BFED∩平面 ABCD＝BD, ——4 分 ∴AD⊥平面 BFED. ——5 分 (2)由(Ⅰ)可建立分别以直线 DA、DB、DE 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，如图所 示． ——6 分[来 源:Z_xx_k.Com] 易知 BD＝ BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°＝ 3， 令 EP＝λ(0≤λ≤ 3)，则 D( )0，0，0 ，A( )1，0，0 ，B( )0， 3，0 ， P( )0，λ，1 ，∴AB→＝( )－1， 3，0 ， BP→＝( )0，λ－ 3，1 . 设 n1＝( )x，y，z 为平面 PAB 的一个法向量，由   n1·AB→＝0， n1·BP→＝0， 得  －x＋ 3y＝0， ( )λ－ 3 y＋z＝0， 取 y＝1，得 n1＝( )3，1， 3－λ ， ——9 分 [来源:Z.xx.k.Com] ∵n2＝( )0，1，0 是平面 ADE 的一个法向量， ∴cos θ＝ | |n1·n2 | |n1 | |n2 ＝ 1 3＋1＋( )3－λ 2＝ 1 ( )λ－ 3 2 ＋4 . ——11 分 ∵0≤λ≤ 3， ∴当 λ＝ 3时， cos θ有最大值1 2， ∴θ的最小值为 π 3. ——12 分 3 20．(本题 12 分) 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量 ， ， x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030． ——3 分 （Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有 5 人，分数在[90，100）有 2 人，共 7 人．——4 分 抽取的 3 名同学中得分在[80，90）的学生个数 ξ 的可能取值为 1，2，3，则 ——5 分 ， ． ——9 分 所以，ξ 的分布列为 ——11 分 ξ 1 2 3 P 所以， ． ——12 分 21. (本题 12 分) 解：（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为 22 3 12 xy ab+=， 其斜率为 2 2 21 32 b a− = − ，∴ 2234ab= . ——1 分 又点Q 在椭圆上，∴ 22 1914ab+=. ——2 分 解得 2 4a = ， 2 3b = . ——3 分 ∴椭圆C 的方程为 22 143 xy+=； ——4 分 （Ⅱ）设 ( )00,P x y ， ( )11,M x y ， ( )22,N x y ， 则切线 11:143 x x y ym +=，切线 22:143 x x y yn +=. ——6 分 ∵ ,mn都经过点 P ，∴ 1 0 1 0 143 x x y y+=， 2 0 2 0 143 x x y y+=. ——7 分 即直线 MN 的方程为 00143 x x y y+=. ——8 分 又 003xy+=，∴ ( )00 3 143 xyxx −+=，即( ) 03 4 12 12 0x y x y− + − = . ——9 分 4 令 3 4 0, 12 12 0, xy y −=  −= 得 4 ,3 1. x y  =  = ——11 分 ∴直线 MN 必经过一定点 4 ,13   . ——12 分 22. (本题 12 分) 解：（1）∵ ( ) xxaxxf ln+= ，∴ ( ) xaxf ln1' ++= ， ——1 分 又函数 ( )xf 在区间 )+,e 上为增函数， ∴当 ex  时， 0ln1 ++ xa 恒成立， ——2 分 ∴ 2ln1)ln1( max −=−−=−− exa ， ——3 分 即 a 的取值范围为 )+− ,2 . ——4 分 （2）当 1x 时， 01−x ，故不等式 ( ) ( ) ( ) 11 −− x xfkxfxk ， 即 1 ln − + x xxxk 对任意 1x 恒成立. ——5 分 令 ( ) 1 ln − += x xxxxg 则 ( ) 2)1( 2ln' − −−= x xxxg ， 令 ( ) )1(2ln −−= xxxh ，则 ( ) )(0111' xhx x xxh −=−= 在 ），（ +1 上单调递增. ∵ ( ) 04ln2)4(,03ln13 −=−= hh ， ∴存在 )4,3(0 x 使 0)( 0 =xh ——6 分 即当 01 xx  时， 0)( xh ，即 0)(' xg ， 当 0xx  时， 0)( xh ，即 ( ) 0gx’ ， ∴ )(xg 在 ），（ 01 x 上单调递减，在 ）（ +,0x 上单调递增. 0( ) ( )g x g x ——8 分 令 02ln)( 000 =−−= xxxh ，即 2ln 00 −= xx ， ——10 分 ( ) )4,3(1 )21( 1 )ln1()( 0 0 00 0 00 0min =− −+=− +== xx xx x xxxgxg ， ——11 分 ∴ 0min)( xxgk = 且 Zk  ，∴ 3k = ——12 分