2019届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2019．5
参考公式：
锥体体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
圆柱侧面积公式：S＝2πrl，其中r为圆柱的底面半径，l为圆柱的母线长．
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－x)2，其中x＝xi.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{－1，0}，B＝{－1，3}，则A∪B＝________．
2. 已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．
3. 双曲线－y2＝1的焦距为____________．
4. 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.
5. 根据如图所示的伪代码，运行后输出的结果为________．
6. 现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．
7. 若函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1＋ax)是偶函数，则实数a的值________．
8. 设A，F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，B1，B2为椭圆C短轴的两个端点．若点F恰为△AB1B2的重心，则椭圆C的离心率的值为________．
(第9题)
9. 如图，三棱柱ABC A1B1C1的体积为6，O为四边形BCC1B1的中心，则四面体A1B1OB的体积为________．
10. 已知正项数列{an}满足an＋1＝2＋＋＋…＋，其中n∈N*，a4＝2，则a2 019＝________．
11. 已知圆O的半径为2，点A，B，C为该圆上的三点，且AB＝2，·>0，则·(＋)的取值范围是________.
12. 在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2＋ab，则的取值范围是________．
13. 已知函数f(x)＝x＋4sin x．若不等式kx＋b1≤f(x)≤kx＋b2对一切实数x恒成立，则b2－b1的最小值为________.
14. 已知max{a，b}＝f(x)＝max{ln x－tx－，x2－tx－e}(e自然对数的底数)．若f(x)≥－2在x∈[1，e]上恒成立，则实数t的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥A BCD中，AE⊥BC于E，M，N分别是AE，AD的中点．
(1) 求证：MN∥平面BCD；
(2) 若平面ABC⊥平面ADM，求证：AD⊥BC.
16. (本小题满分14分)
设向量a＝(2cos x，2sin x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b－.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 若f()＝－，且α∈(，π)，求cos α的值.
17. (本小题满分14分)
如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝ 99 m, AD＝ 49.5 m．现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31.4元．
(1) 当n＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积(结果保留π)；
(2) 试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低？ (计算中π取3.14)
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若椭圆C上存在两点Q，R，使得△PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O，试求直线QR的方程.
19. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝x－aex(e为自然对数的底数，a∈R)．
(1) 当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2) 若函数f(x)在区间(0，1)上具有单调性，求a的取值范围；
(3) 若函数g(x)＝(ex－e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1，x2，x3，且x10得32m2－20(2m2－4)>0，解得m20，得xc4>c5>….
由＝×，得cm＝cnn，则m≥n＋1.(6分)
当m＝n＋1时，＝显然不成立，
当m>n＋1时，＝＝2m－n－1.
设m－n－1＝t，则t∈N*，＝2t，得n＝.(8分)
设dn＝，则dn＋1－dn＝－＝kn，则rn＋1kn与rn＋11时，＝q>1，得＝q2>1，
所以>≥1，所以kn＋1>kn恒成立．
而kn≥an，所以kn＋1＝an＋1，所以 an＋1>an恒成立，
所以kn＝an，rn＝a1，代入＝q2得＝q2，即＝q2，
所以数列{an}是等比数列．(14分)
③当0
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