西城区高三统一测试
数学（文科） 2018. 4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．若集合，，则[KS5UKS5U]
（A）
（B）
（C）
（D）
2．若复数的实部与虚部相等，则实数
（A）
（B）
（C）
（D）
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．若函数 是奇函数，则
（A）
（B）
（C）
（D）
5．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是
（A） （B）
（C） （D）
6．已知二次函数．则“”是“恒成立”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．已知是正方形的中心．若，其中，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如图，在长方体中，，
，点在侧面上．满足到直线和
的距离相等的点
（A）不存在
（B）恰有1个
（C）恰有2个
（D）有无数个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．函数的定义域是____．
10．已知，满足条件 则的最小值为____．
11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；
双曲线的渐近线方程是____．
12．在△中，，，，则____．
13．能够说明“存在不相等的正数，，使得”是真命题的一组，的值为____．
14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求使成立的的最小值．
16．（本小题满分13分）
函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（本小题满分13分）
某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
18．（本小题满分14分）
如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
图1 图2
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）记的导函数为．当时，证明： 存在极小值点，且．
西城区高三统一测试
数学（文科）参考答案及评分标准
2018.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．B 3．C 4．A
5．D 6．B 7．A 8．D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10． 11．，
12． 13．（答案不唯一） 14．22
注：第11题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，．
因为 ，，成等比数列， 所以． [ 2分]
即 ， [ 4分]
解得 ，或（舍去）． [ 6分]
所以 的通项公式为． [ 8分]
（Ⅱ）因为 ，
所以 ． [10分]
依题意有 ，
解得 ． [12分]
使成立的的最小值为8． [13分]
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意，有， [ 2分]
所以 ，
解得 ． [ 4分]
（Ⅱ）因为
[ 6分]
[ 9分]
． [10分]
所以 的最小正周期 ． [11分]
所以 ． [13分]
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 ，
被该企业录用的人数为 ．
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．
[ 3分]
（Ⅱ）记应聘E岗位的男性为，，，被录用者为，；应聘E岗位的女性为，，，被录用者为，． [ 4分]
从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：． [ 7分]
这2人均被录用的情况有4种，即：． [ 8分]
记“从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件，
则 ． [10分]
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分]
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，． [ 1分]
因为 在△中，，分别为，的中点，
所以 ，．
因为 ，分别为，的中点，
所以 ，，
所以 ，，
所以 四边形为平行四边形， [ 3分]
所以 ． [ 4分]
因为 平面， 平面，
所以 平面． [ 5分]
（Ⅱ）因为 在△中，，分别为，的中点，
所以 ．
所以 ，又为的中点，
所以 ． [ 6分]
因为 平面平面，且平面，
所以 平面， [ 7分]
所以 ． [ 8分]
在△中，，易知 ，
所以 ，
所以 平面， [ 9分]
所以 平面平面． [10分]
（Ⅲ）线段上不存在点，使得平面． [11分]
否则，假设线段上存在点，使得平面，
连接 ，，
则必有 ，且．
在 △中，由为的中点，，
得 为的中点． [12分]
在 △中，因为 ，
所以 ，
这显然与 ，矛盾！
所以 线段上不存在点，使得平面． [14分]
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得
，，且． [ 3分]
解得 ，．
所以椭圆的方程为 ． [ 5分]
（Ⅱ）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立”． [ 6分]
依题意，．设，，则， [ 7分]
且 ，
即 ． [ 9分]
将 代入上式，
得 ． [10分]
因为 ，
所以 ，
即 ． [12分]
所以 ，
解得 ，
所以 点横坐标的取值范围是． [14分]
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）． [ 2分]
依题意，有 ， [ 3分]
解得 ． [ 4分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
所以 ． [ 6分]
因为 ，所以与同号．
设 ， [ 7分]
则 ．
所以 对任意，有，故在单调递增． [ 8分]
因为 ，所以 ，，
故存在，使得 ． [10分]
与在区间上的情况如下：
↘
极小值
↗
所以 在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以 若，存在，使得是的极小值点． [11分]
令 ，得 ，
所以 ． [13分]
微信/支付宝扫码支付