西城区高三统一测试
数学（理科） 2018.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．若集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2．执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知圆的方程为．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是
（A） （B）
（C） （D）
5．已知是正方形的中心．若，其中，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6．设函数．则“有两个不同的零点”是“，使”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．函数 则的图象上关于原点对称的点共有
（A）0对
（B）1对
（C）2对
（D）3对
8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有
三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为，，，其中．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是
（A）UVW
（B）VWU
（C）WUV
（D）UWV
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若复数的实部与虚部相等，则实数____．
10．设等差数列的前项和为．若，，则____；____．
11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；
双曲线的渐近线方程是____．
12．设，若函数的最小正周期为，则____．
13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参
加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）
14．如图，在长方体中，，，
点在侧面上．若点到直线和的距离相等，
则的最小值是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，已知．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
16．（本小题满分13分）
某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
图1 图2
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）当时，证明：存在极小值．
19．（本小题满分14分）
已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标；
（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
20．（本小题满分13分）
数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合，，．
（Ⅰ）对数列：，，，，，求集合；
（Ⅱ）若集合，，证明：；
（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．
西城区高三统一测试
数学（理科）参考答案及评分标准
2018.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．C 3．B 4．D
5．B 6．C 7．C 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．， 11．，
12． 13． 14．
注：第10，11题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ． [ 1分]
在△中，由正弦定理得 ． [ 3分]
所以 ． [ 4分]
因为 ， [ 5分]
所以 ． [ 6分]
（Ⅱ）在△中，由余弦定理得 ，
所以 ， [ 8分]
整理得 ， [ 9分]
解得 ，或，均适合题意． [11分]
当时，△的面积为． [12分]
当时，△的面积为． [13分]
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 ，
被该企业录用的人数为 ，
所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．[ 3分]
（Ⅱ）X可能的取值为． [ 4分]
因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]
所以 ； ；
． [ 8分]
所以 X 的分布列为：
X
0
1[
2
P
． [10分]
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分]
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 在△中，，分别为，的中点，
所以 ，．
所以 ，又为的中点，
所以 ． [ 1分]
因为 平面平面，且平面，
所以 平面， [ 3分]
所以 ． [ 4分]
（Ⅱ）取的中点，连接，所以 ．
由（Ⅰ）得 ，．
如图建立空间直角坐标系． [ 5分]
由题意得，，，，．
所以 ，，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，，所以 ． [ 7分]
设直线和平面所成的角为，
则 ．
所以 直线和平面所成角的正弦值为． [ 9分]
（Ⅲ）线段上存在点适合题意．
设 ，其中． [10分]
设 ，则有，
所以 ，从而 ，
所以 ，又，
所以 ． [12分]
令 ，
整理得 ． [13分]
解得 ，舍去．
所以 线段上存在点适合题意，且． [14分]
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）的导函数为
． [ 2分]
依题意，有 ， [ 4分]
解得 ． [ 5分]
（Ⅱ）由及知，与同号．
令 ， [ 6分]
则 ． [ 8分]
所以 对任意，有，故在单调递增． [ 9分]
因为 ，所以 ，，
故 存在，使得 ． [11分]
与在区间上的情况如下：
↘
极小值
↗
所以 在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以 存在极小值． [13分]
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为． [ 1分]
所以 ，，从而 ．
因此 ，．
故椭圆的离心率 ． [ 3分]
椭圆的左焦点的坐标为． [ 4分]
（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下： [ 5分]
设，其中，则， [ 6分]
依题意可设，则． [ 7分]
直线的方程为 ，
整理为 ． [ 9分]
所以圆的圆心到直线的距离 ． [11分]
因为 ． [13分]
所以 ，
即 ，
所以 直线与圆相切． [14分]
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 ，，，，，， [ 2分]
所以 ． [ 3分]
（Ⅱ）由集合的定义知 ，且是使得成立的最小的k，
所以 . [ 5分]
又因为 ，
所以 [ 6分]
所以 ． [ 8分]
（Ⅲ）因为，所以非空．
设集合 ，不妨设，
则由（Ⅱ）可知 ，
同理 ，且 ．
所以
．
因为 ，所以的元素个数 ． [11分]
取常数数列：，并令，
则 ，适合题意，
且 ，其元素个数恰为．
综上，的元素个数的最小值为． [13分]
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