2018年衡阳市八中高二学考第一次模拟考试
数学试题
命题人：吕建设 彭源 刘喜 审题人：钟小霖
请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；
附加题20分：文科做21,22题，理科做23,24题，切记一定“A要填涂
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 函数的定义域是
A． B．C． D．
2.设集合，集合，若，则
A． B． C． D．
3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是
A．圆柱 B．三棱柱
C．球 D．四棱柱
4.已知函数，设，则
....
5.设的内角的对边分别为，若，则
....
6.若实数满足，则的最小值为
....
7.如图，在正方体中，与所成角的大小为
A． B． C． D．
8.如图为一半径为的扇形其中扇形中心角为，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为
9.已知向量，，则下列结论正确的是
....
10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是k.Com]
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是 .
12.在各项均为正数的等比数列中，,则.
13.执行如图所示的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值是_____.
14.的值是.
15.已知圆和点，则过点A且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
三解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）已知函数 .
（1）求的最大值；（2）若，求的值.
17．（本小题满分8分）
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.
(1) 试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
18.（本小题满分8分）
若等差数列满足，且.
（1） 求的通项公式；
（2） 设数列满足，，求数列的前项和.
19.（本小题满分8分）
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
20.（本小题满分10分）
已知函数，（）是偶函数．
（1）求的值
（2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．
附加题
文科做：
21.（10分）已知函数的部分图象如图．
（）求函数的解析式及单调递增区间
（）求函数在区间上的最值，并求出相应的值．
22. （10分）
已知函数
（1） 若函数在R上单调递增，求实数的取值范围
（2） 是否存在实数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
理科做：
23. （10分）定义在上的单调递减函数:
对任意都有，．
（1）判断函数的奇偶性，并证明之；
（2）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；
24.（10分）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
2018年衡阳市八中高二学考第一次模拟考试
数学试题
命题人：吕建设 彭源 刘喜 审题人：钟小霖
请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题20分，文科选做21,22题，理科选做23,24题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 函数的定义域是
A． B．C． D．
2.设集合，集合，若，则
A． B． C． D．
3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是
A．圆柱 B．三棱柱
C．球 D．四棱柱
4.已知函数，设，则
....
5.设的内角的对边分别为，若，则
....
6.若实数满足，则的最小值为
....
7.如图，在正方体中，与所成角的大小为
A． B． C． D．
8.如图为一半径为的扇形其中扇形中心角为，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为
9.已知向量，，则下列结论正确的是
....
10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
A
C
D
D
B
C
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．从56名男教师和42名女教师中，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为14的样本．那么这个样本中的男教师的人数是 8 .
12.在各项均为正数的等比数列中，,则3.
13.执行如图所示的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值是__13___.
14..=0.
15.已知圆和点，则过点A且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
三解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）已知函数 .
（1）求的最大值；（2）若，求的值.
17．（本小题满分8分）
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.
(1) 试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
18.（本小题满分8分）
若等差数列满足，且.
（1） 求的通项公式；
（2） 设数列满足，，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为.
数列的通项公式为.
（2） 由（1）知，
又适合上式
数列是首项为，公差为的等差数列.
19.（本小题满分8分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
；
20.（本小题满分10分）
已知函数，（）是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．
解：（1）∵（）是偶函数，
∴对任意，恒成立
即：恒成立，∴
（2）由于，所以定义域为，也就是满足
∵函数与的图象有且只有一个交点，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解
令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解
当时，解得，不合题意；
当时，记，其图象的对称轴
∴函数在上递减，而
∴方程（*）在无解
当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为
综上所述，所求的取值范围为
21.（10分）已知函数的部分图象如图．
（）求函数的解析式及单调递增区间
（）求函数在区间上的最值，并求出相应的值．
（）由图像可知，
又，故．
周期，又，
∴．∴，，
，．．
单调递增区间
（），，
∴，．
当时，，．
当时，，．
所以，．
22. （10分）
已知函数
（1） 若函数在R上单调递增，求实数的取值范围
（1） 是否存在实数，使不等式对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
（2）
理科选做：
23. （10分）定义在上的单调递减函数:
对任意都有，．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；
（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求
的取值范围；
解:（Ⅰ）为上的奇函数
证明：取得
∴,取得
即：对任意都有
∴∴为上奇函数
（Ⅱ）∵
∴
∵在上单减
∴在上恒成立
∴
∴在上恒成立
在上恒成立
∴当时，
∴即
24.（10分）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
（2）由，
得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．
令，
则，
令，则在区间内单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增，
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