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山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（三）
理科数学试题
命题：湖北沙市中学(熊炜) 审题：湖北夷陵中学（曹轩） 湖南常德一中（朱纯刚） 山东莱芜一中（王玉玲）
本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一.选择题（每小题5分，共60分）
答案
．A 解： N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，∴，则M∪N=M ，故选A。
．若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，则有（ ）
A． B． C． D．
．C 解：，∴，的虚部为，故选C。
．已知复数（i为虚数单位），则复数Z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B. C.1 D.
．D 解：①对都有，∴错误；②当时，，∴错误；③当时，，∴错误；④；而当时，成立，不成立，∴正确。
．下列命题中，真命题是 （ ）
A．，使得 B．
C． D．是的充分不必要条件
．A 解：第一次进入循环体时；第二次进入循环时；第三次进入循环时，第四次进入循环时，故此时输出，故选A。
．某程序框图如图，该程序运行后输出的的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
．B 解：作平面区域，易知
．在满足条件的区域内任取一点，则点满足不等式的概率为（ ）
A． B． C． D．
． B 解：由，且的最小值为可知：，∴，又，则，∵，∴，故可求得的单调递增区间为，故选B。
．已知函数，
若的最小值为，且，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
．A 解;由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：
则，故选A。
．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）
A. 1.6 B. 1.8 C. 2.0 D.2.4
．D 解：令则，
在上递减，由，知可得
又为偶函数，所以解集为。
．定义在上的函数满足，的导函数为，且满足，当时，，则使得不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
．D 解：由可知，设等差数列的公差为，则，∵，∴，则，，设，，∴的极小值点为，∵，且，，∴，故选D。
．已知等差数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A -3 B -5 C -6 D -9
．B 解：由已知得 。
．点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与
轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
．B 解:易知正三棱锥外接球O半径为2. 过点E作三棱锥外接球O的截面,要使截面面积最小当且仅当截面与垂直时.
．已知正三棱锥，底面是边长为3的正三角形ABC，，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则截面面积的最小值是( )
A. 3π B． C. 2π D．
．B 解：
若为整数，则
若不为整数，设其中，
．已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题 （每小题5分，共20分）
． 解：设与的夹角为，∵，，∴，∴
．若向量满足,且,则向量与的夹角为
．-160 解：易知
令，则，
．设，则二项式的展开式中常数项是
． 解：可得，故
．过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点，若，则 .
． 解：，若方程存在两个不同解，则，∴，令，∵，∴，设，则在上单调递增，且，∴在上单调递增，上单调递减，∴，∵，∴在上恒成立，∴若方程存在两个不同解，则，即。
．若存在正实数，使得关于方程有两个不同的实根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是
三.解答题
．解：（1）因为 ，由正弦定理得：
即, .…………....4分
在中， ，所以 ,. ….…………....6分
（2）， 得
解得： ….…………....10分
所以的面积 ….…………....12分
．（12分）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，点在线段上， ， ,求的面积.
．解：( I)由频率分布直方图可知，年龄段[20，30），[30，40），[40，50)，[50,60]的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15.………．（1分）
因为40×0.3=12，40×0.35 =14，40×0.2=8，40×0.15 =6，
所以年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]应抽取人数分别为12，14，8，6．…（2分）
(Ⅱ)因为各年龄段的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，则25×0.3+35×0.35 +45×0.2+55×0.15= 37.由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁。……（6分）
(Ⅲ)因为年龄在[20，30）的工人数为120×0.3=36，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，
所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为 ……………（7分）
因为年龄段[40，50）的工人数为120×0.2=24，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为 ，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为．…………（8分）
由题设知，X的可能取值为0，1，2．
其中，
，
，……………………（10分）
所以X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
所以。………（12分）
．（12分）某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试。已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示。假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。
年龄分组
A项培训成绩
优秀人数
B项培训成绩
优秀人数
[20，30）
27
16
[30，40）
28
18
[40，50)
16
9
[50，60]
6
4
（I）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；
（Ⅲ）随机从年龄段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望.
．【解析】(1)在三棱柱ABC−中，侧面是矩形，∴⊥AB，………（1分）
又⊥BC，AB∩BC=B，
∴⊥平面ABC，∴⊥AC．………（2分）
又=AC，∴⊥．
又⊥，∩=，
∴⊥平面 ，
又平面，∴平面⊥平面．………（4分）
图1
(2)解法一 当E为的中点时，连接AE，，DE，如图1，取的中点F，连接EF，FD，∵EF∥AB，DF∥，
又EF∩DF=F，AB∩=A，
∴平面EFD∥平面，
则有DE∥平面．………（6分）
以 A为坐标原点，AB，AC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为=AC=2AB=4，
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，(0，4，4)，C(0，4，0)，E(2，0，2)，(0，0，4)，由(1)知，=(0，4，−4)是平面的一个法向量．………（7分）
设n=(x，y，z)为平面的法向量，
∵=(0，4，4)，=(2，0，2)，
∴ ，即，
令z=1，则x=−1，y=−1，
∴n=(−1，−1，1)为平面的一个法向量．………（10分）
设与n的夹角为θ，则cos θ==−，由图知二面角E−−B为锐角，∴二面角E−−B的余弦值为．……12分
图2
解法二 当E为的中点时，连接DE，如图2，设交于点G，连接BG，DG，∵BEDG，∴四边形DEBG为平行四边形，
则DE∥BG，又DE平面，BG平面，则DE∥平面．
求二面角E−−B的余弦值同解法一．
．（12分）如图，在三棱柱ABC−中，侧面是矩形，∠BAC=90°，⊥BC，=AC=2AB=4，且⊥．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)设D是的中点，判断并证明在线段上是否存在点E，使得DE∥平面．若存在，求二面角E−−B的余弦值．
．（1） ，，点代入 有：
椭圆方程为： ………4分
（2）存在定点满足条件：
设，直线方程为，联立
消有
设，，则
，且 ……… 6分
由三点共线有：
……… 8分
………11分
存在定点满足条件. ………12分
．（12分）已知长轴长为4的椭圆过点,右焦点为。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在轴上的定点，使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.
．解：（1） ……… 1分
由于在上递增得在上恒成立
即在上恒成立 ………2分
令，则
故在上递减，于是，故有 ……… 4分
（2）上递增，又
，故唯一，使得上递减，在上递增。 ……… 6分
……… 8分
令 则
上递减 ……… 10分
当时，由递减知
故
即
从而有上恒成立。
故时，无实根。 ……… 12分
．（12分）已知：
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，试分析的根的个数。
．（1）曲线的参数方程，直线的普通方程…5分
（2）曲线上任意一点到直线的距离为
即，其中为锐角，且 ………8分
当时，最大值为；当时，最小值为 ………10分
．（10分）已知曲线，直线
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程。
（2）设曲线上任意一点到直线的距离为，求的最大值与最小值.
．（1）当，由得，两边平方得，所以所求不等式的解集为 ………5分
（2）由，得；即存在，使得成立。
因为，所以。 ………10分
．（10分）已知函数
（1）若，解不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。
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