山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（理）试题Word版含解析.doc

山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试 理科数学试题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。‎ ‎1. 已知集合,则集合A∩B=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，集合，‎ ‎ 所以，故选D.‎ ‎2. 已知复数 (i是虚数单位),则的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，所以复数的虚部为，故选C.‎ ‎3. 某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表，根据数据表可得回归直线方程,其中,据此模型预测广告费用为9千元时,销售额为 A. 17万元 B. 18万元 C. 19万元 D. 20万元 ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，根据表中的数据可知，且，‎ ‎ 代入，则，解得，即，‎ ‎ 当时，，故选A.‎ ‎4. 已知等差数数列的前项和为Sn,若a3+a7=6,则S9等于 A. 15 B. 18 C. 27 D. 39‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由等差数列的性质可知，‎ ‎ 又，故选C.‎ ‎5. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当时, ,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意函数满足，所以函数为以为周期的周期函数，‎ ‎ 则，‎ ‎ 由函数为奇函数且当时，，‎ 所以， 即，故选B.‎ ‎6. 已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x2的系数为 A. 5 B. 40 C. 20 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意，二项式的展开式中各项的系数和为，‎ 令，则，解得，‎ 所以二项式的展开式为，‎ 令，则，即的系数为，故选B.‎ ‎7. 设变量x、y满足约束条件,则的最最大值为 A. -6 B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ ‎ 目标函数化简为，‎ ‎ 由图象可知，当目标函数过点是取得最大值，‎ ‎ 由，解得，即，‎ ‎ 所以目标函数的最大值为，故选C.‎ ‎8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?“该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时,均可采用此方法求解,右图是解决这类问题的程序框图,若输入n=24,则输出的结果为 A. 23 B. 47 C. 24 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】 模拟程序的运行，可得，‎ ‎ 执行循环体，，不满足条件；‎ 执行循环体，，不满足条件；‎ 执行循环体，，满足条件，输出，故选B.‎ ‎9. 若函数在上是增函数,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，因为 所以示函数含原点的递增区间，‎ ‎ 又因为函数在上是增函数，所以 ，‎ ‎ 即，又，所以，故选D.‎ ‎10. 双曲线的左、右焦点分别为为F1、F2,过F2作倾斜角为的直线与y轴和双曲线的左支分别交于点A、B,若,则该双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由，根据向量的运算可知，点为的中点，‎ ‎ 所以，则，‎ ‎ 在直角中，因为且，所以，‎ ‎ 即，又因为，所以，即，‎ ‎ 又，解得.‎ ‎11. 已知函数y=f(x)对任意的满足 (其中为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 令，则，‎ ‎ 因为，则，所以，‎ ‎ 所以，即，即，故选B.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用函数的单调比较大小关系，其中熟记函数四则运算中商的导数公式，以及构造出相应的函数模型是解答的关键，属于中档试题.‎ ‎12. 已知函数在R上是单调递增函数,则的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意的，‎ ‎ 因为函数在上单调递增，所以满足，可得，且 ‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 所以，故选A.‎ ‎ 点睛：本题考查了函数的单调性的应用，以及基本不等式求最值问题，解答中根据函数在上单调递增，列出不等式组，求解，代入，利用基本不等式求最值是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎ 二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分 ‎13. 若非零向量、满足,则与的夹角为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，，‎ ‎ 所以向量与所成的角为，且， ‎ ‎ 所以.‎ ‎14. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若∠B=60°,a=3,b=,则c 的值为____________。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 在中，由余弦定理，‎ ‎ 得，即，解得.‎ ‎15. 已知F(2,0)为椭圆的右焦点,过F且垂直于x轴的弦的长度为6,若A,点M为椭圆上任一点,则的最大值为_____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 设椭圆的左焦点为，‎ 由椭圆的焦点为，则，又过且垂直于轴的弦的长度为，即，‎ 则，解得，所以，‎ 又由，‎ 当三点共线时，取得最大值，此时，‎ 所以的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，其中解答中根据题意求得的值，再利用椭圆的定义转化为当三点共线时，取得最大值是解答的关键.‎ 着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎16. 如图,一张矩形白纸ABCD,AB=10,AD=,E,F分别为AD,BC的中点,现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A、C在平面BFDE同侧,下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的序号)‎ ‎①当平面ABE∥平面CDF时,AC∥平面BFDE ‎②当平面ABE∥平面CDF时,AE∥CD ‎③当A、C重合于点P时,PG⊥PD ‎④当A、C重合于点P时,三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】 在中，，在中，，所以，‎ ‎ 由题意，将沿折起,且在平面同侧，‎ ‎ 此时四点在同一平面内，平面平面，‎ 平面平面，当平面平面时，得到,‎ 显然，所以四边形是平行四边形，所以,‎ 进而得到平面，所以①正确的；‎ 由于折叠后，直线与直线为异面直线，所以与不平行，所以②错误的；‎ 折叠后，可得,，其中,ZE ，所以和 不垂直，所以③不正确；‎ 当重合于点时,在三棱锥中，和均为直角三角形，‎ 所以为外接球的直径，即,‎ 则三棱锥的外接球的表面积为，所以④是正确，‎ 综上正确命题的序号为①④.‎ 点睛：本题考查了命题的真假判定，空间直线与平面平行、垂直的位置关系的综合应用，以及球的组合体问题，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎17. 已知各项均为正数的等比数列,满足,且 ‎(1)求等比数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前n项和为Tn ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知，求得，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）得，进而得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得：，或（舍去）‎ ‎. ‎ ‎（2），, ‎ 两式相减得： ‎ ‎.‎ ‎18. 如图,在三棱柱ABC-DEF中,AE与BD相交于点O,C在平面ABED内的射影为O,G为CF的中点 ‎(1)求证平由ABED⊥平面GED ‎(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角A-CE-B的余弦值 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）取中点，证得，又因为在平面内的射影为，所以⊥平面.利用面面垂直的判定定理，即可证明平面 平面； ‎ ‎（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取中点，在三角形中， ，.‎ 又因为为中点，所以 ，.‎ ‎.四边形为平行四边形.‎ ‎. ‎ 因为在平面内的射影为，所以⊥平面.‎ 所以⊥平面. ‎ 又因为，所以平面 平面.‎ ‎ ‎ ‎（2）∵⊥面，∴⊥，⊥‎ 又∵四边形为菱形， ⊥，‎ 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 于是，，，，‎ 向量，向量， ‎ 设面的一个法向量为，，即，‎ 不妨令时，则，，取. ‎ 又为面的一个法向量.‎ 设二面角大小为，显然为锐角，‎ 于是，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎19. 某高中学校对全体学生进行体育达标测试,每人测试A、B两个项目,每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人,分别统计他们A、B两个项目的测试成绩,得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布表如下:‎ 将学生的成绩划分为三个等级如右表:‎ ‎(1)在抽取的100人中,求A项目等级为优秀的人数 ‎(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人,A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人,试完成下列2×2列联表,并分析是否有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关?‎ 参考数据:‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式其中 ‎ (3)将样本的率作为总体的概率,并假设A项目和B项目测试成绩互不影响,现从该校学生中随机抽取1人进行调查,试估计其A项目等级比B项目等级高的概率,‎ ‎【答案】（1）40；（2）有95%以上的把握认为“项目等级为优秀”与性别有关；（3）0.3‎ ‎【解析】试题分析：（1）由项目测试成绩的频率分布直方图，即可求解项目等级为优秀的频率及优秀的人数；‎ ‎（2）由（1）知：作出列联表，利用公式求解的值，即可得到结论；‎ ‎（3）设“项目等级比项目等级高”为事件，记“项目等级为良好”为事件；“项目等级为优秀”为事件；“项目等级为一般”为事件；“项目等级为良好”为事件，利用概率的加法公式，即可求解概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由项目测试成绩的频率分布直方图，得 项目等级为优秀的频率为， ‎ 所以，项目等级为优秀的人数为． ‎ ‎（2）由（1）知：项目等级为优秀的学生中，女生数为人，男生数为人.项目等级为一般或良好的学生中，女生数为人，男生数为人.作出列联表：‎ 优秀 一般或良好 合计 男生数 女生数 合计 计算， ‎ 由于，所以有95%以上的把握认为“项目等级为优秀”与性别有关．‎ ‎（3）设“项目等级比项目等级高”为事件．‎ 记“项目等级为良好”为事件；“项目等级为优秀”为事件；“项目等级为一般”为事件；“项目等级为良好”为事件．‎ 于是，，‎ 由频率估计概率得：，. ‎ 因为事件与相互独立，其中．‎ 所以 ．‎ 所以随机抽取一名学生其项目等级比项目等级高的概率为．‎ ‎20. 已知抛物线x2=2Py(p>0)和圆x2+y2=r2(r>0)的公共弦过抛物线的焦点F,且弦长为4‎ ‎(1)求抛物线和圆的方程:‎ ‎(2)过点F的直线与抛物线相交于A、B两点,抛物线在点A处的切线与x轴的交点为M,求△ABM面积的最小值 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程. ‎ ‎（2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，研究函数的单调性和最值，即可得到结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知，，所以，故抛物线的方程为. ‎ 又，所以， 所以圆的方程为. ‎ ‎（2）设直线的方程为：，并设，‎ 联立，消可得，.‎ 所以； ‎ ‎. ‎ ‎，所以过点的切线的斜率为，切线为，‎ 令，可得，， 所以点到直线的距离，‎ 故，分 又，代入上式并整理可得：‎ ‎，令，可得为偶函数，‎ 当时，，‎ ‎，令，可得，‎ 当，，当，，‎ 所以时，取得最小值，故的最小值为.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21. 已知有两个零点 ‎(1)求a的取值范围 ‎(2)设x1、x2是f(x)的两个零点,求证证:x1+x2>‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求的函数的导数，根据函数有两个零点，分类讨论，即可求解实数的取值范围；‎ ‎（2）不妨设，由（1）知，构造函数，得到，得到，得到函数的单调性和最值，即可得到证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 当时，，此时在单调递增，至多有一个零点.‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，单调递减，当，，单调递增，故当时函数取最小值 当时，，即，所以至多有一个零点.‎ 当时，，即 因为，所以在有一个零点； ‎ 因为，所以，‎ ‎，由于，所以在有一个零点.综上，的取值范围是. ‎ ‎（2）不妨设，由（1）知，，.‎ 构造函数， ‎ 则 ‎ ‎ 因为，所以，在单调递减.‎ 所以当时，恒有，即 ‎ 因为，所以 于是 又，且在单调递增，‎ 所以，即 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.‎ ‎22. 已知直线l的参数方程为为参数）， 椭圆C的参数方程为为参数）。在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(2, ‎ ‎(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标 ‎(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求△APQ的面积 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解点的直角坐标；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到,，即可求得，再求得点到直线的距离，即可求解面积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由 得. ‎ 因为的极坐标为,所以，.‎ ‎ 在直角坐标系下的坐标为 . ‎ ‎（2）将代入，化简得,‎ 设此方程两根为,则 ,. ‎ ‎. ‎ 因为直线的一般方程为,‎ 所以点到直线的距离. ‎ 的面积为.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)当a=0时,求不等式f(x)