兰州市2018年高三实战考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】A
2. 已知在复平面内，复数对应的点是 ，则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵复数对应的点是
∴
∴复数的共轭复数
故选D.
3. 等比数列中各项均为正数，是其前项和，满足，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为.
∵
∴，即.
∴
∴或（舍去）
∵
∴
∴
故选D.
4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，阴影部分的面积为，正方形的面积为1.
∵正方形中随机投掷10000个点，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为
故选B.
点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；
5. 已知非零单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设与的夹角为.
∵
∴，即.
∴，则.
∵为非零单位向量
∴，即.
∵
∴
∵
∴
故选D.
6. 已知点为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为 ，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为 ，得，，过点作轴，垂足为，则，如图所示：
在中，，，则，，即，代入双曲线方程得，即.
∵点为双曲线的左右顶点
∴
∴双曲线的方程为
故选B.
7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线的方程为
∴焦点，准线的方程为.
∵直线的斜率
∴直线的方程为，当时，，即.
∵为垂足
∴点的纵坐标为，代入到抛物线方程得，点的坐标为.
∴
故选C.
8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的的值为，则输出的 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】初始值，，程序运行过程如下：
，，，不满足，执行循环；
，，，不满足，执行循环；
，，，满足，退出循环；输出．
故选C．
9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为
故选A.
10. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选A.
11. 已知函数，如果时，函数的图象恒过在直线的下方，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，即.
当时， 在上单调递增，则当时， ，满足题设；
当时， 在上不单调，因此存在实数不满足题设，所以D不正确.
故选B.
点睛：本题的解答过程是巧妙构造函数，先运用求导法则求出函数的导数，再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件，进而求得实数的取值范围，使得问题获解.
12. 已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则.
∵在上有恒成立
∴在上恒成立，即在上为减函数.
∴
∵
∴，故A，B不正确.
∵
∴
故选C.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，
若关于的回归方程为，则 __________．
【答案】
【解析】由题意得，代入到线性回归方程，得.
∴
∴
故答案为.
14. 若变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值是__________．
【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：
由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大.
由得，即，代入目标函数得，即的最大值是.
故答案为.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15. 的展开式中，常数项的值为__________．（用数字作答）
【答案】
【解析】 , ,常数项为.
16. 已知数列满足，若，则数列的通项 __________．
【答案】
【解析】∵
∴，即
∵
∴数列是以为首项，公比为的等比数列
∴
∴
∴
故答案为.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（一）必做题
17. 已知向量，函数.
（1）求函数的图象对称轴的方程；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得，再令，，即可得函数的图象对称轴的方程；（2）根据，可得，再结合三角函数图象即可得函数在上的最大值和最小值.
试题解析：（1）由已知
，对称轴的方程为，，即.
（2）∵
∴
∴，
∴.
18. 如图所示，四边形是边长为的菱形，平面平面，.
（1）求证：
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（I）连接，根据菱形的性质可知，结合，可得平面，垂直同一个平面的两条直线平行，故四点共面，故.（2）以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.计算直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角公式求得线面角的正弦值.
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接，
因为是菱形，所以.
因为平面，平面，
所以.
因为，所以平面.
因为平面，平面，所以.
所以，，，四点共面.
因为平面，所以.
（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
可以求得，，，，.
所以，.
设平面的法向量为，
则即
不妨取，则平面的一个法向量为.
因为，
所以 .
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 某智能共享单车备有两种车型，采用分段计费的方式营用型单车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型单车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过分钟还车的概率分别为，并且三个人每人租车都不会超过分钟，甲乙均租用型单车，丙租用型单车.
（1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率；（2）随机变量所有可能取值有，根据相互独立事件的概率公式求出各种情况对应的概率，即可得出分布列，再计算数学期望．
试题解析：（1）由题意，甲乙丙在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，
设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件,
则；
（2）随机变量所有可能取值有，
则，
，
所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为
所以 .
点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.
20. 已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
（1）由已知可得，将 代入 可得；
（2）①当的斜率为零或斜率不存在时，=；
②当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．
设，应用韦达定理，弦长公式
由直线的斜率为，得到，计算得到=，求得.
试题解析：
（1）因为，所以
所以 ，将P代入可得
所以椭圆的方程为
（2）①当的斜率为零或斜率不存在时，=；
②当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．
设，则
因为直线的斜率为，
所以
=
综上，
所以，存在常数使得成等差数列.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.等差数列.
21. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）若存在，使函数成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】试题分析：（I）首先求得函数定义域与，然后利用导数的几何意义求得的值，
从而根据求得函数的单调递减区间；（II）首先将问题转化为，然后求得，并求得其单调区间，从而求得其最小值，进而求得的范围．
（I）由及得函数的定义域为
由题意 解得
故， 此时，
由得
所以函数的单调递减区间是
（II）因为，
由已知，若存在使函数成立，
则只需满足当时，即可．
又，
则，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
，
∴，又∵，∴．
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以 在 上的最小值为，
又 综上所述， 的取值范围
22. 已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是为参数）.
（1）求直线被曲线截得的弦长；
（2）从极点作曲线的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程.
【答案】(1)；(2).
【解析】【试题分析】（1）先借助参数方程、极坐标方程与直角坐标之间的关系互化，再运用弦心距、半径、半弦长之间的关系分析求解；（2）依据题设条件建立极坐标系，运用解直角
三角形的知识进行求解：
（Ⅰ）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是，
易得圆心到直线的距离，所以所求的弦长为．
（Ⅱ）从极点作曲线的弦，各弦中点的轨迹的极坐标方程为．
23. 设函数.
（1）当时，求的图象与直线围成的区域的面积；
（2）若的最小值为，求的值.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】试题分析：(Ⅰ) 分三种情况讨论，函数 化为分段函数，画出图象，可求解区域面积；(Ⅱ)讨论三种情况，分段函数分段求最值，进行比较后，排除不合题意的情况，即可的结果.
试题解析：(Ⅰ)当时，.
其图象如图所示，
易知，围成区域的面积为.
(Ⅱ)当，即时，.
∴；又
当，即时，.
∴.
∴或.
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