2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 2018.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集，集合，则 .
2．在的二项展开式中，常数项是 .
3．函数的定义域为_____________．
4．已知抛物线的准线方程是，则 .
5．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．
6．已知实数满足 则目标函数的最小值为___________．
7．函数的最小正周期是___________．
8．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .
9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是 .
10．已知直线.当在实数范围内变化时，与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是 .
11．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是 ．
12．已知向量的夹角为锐角，且满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．在四边形中，，且·＝0，则四边形是--------（ ）
（A）菱形 （B）矩形 （C）直角梯形 （D）等腰梯形
14. 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，
()，则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）
（A）第一象限． （B）第二象限． （C）第三象限． （D）第四象限．
15．在中，“”是“”的------------（ ）
（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16．如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为------------------------------------------------------------------( )
（A）10 （B）8 （C） （D）12
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．
（1）求长方体的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．
（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知函数，其定义域为，
(1) 当时，求函数的反函数；
(2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.
(1)求的值；
(2)若直线过点，求证：；
(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．
(1)求数列和的通项公式；
(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；
(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由．
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科参考答案及评分标准 2018.4
一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分
１． 2．20 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）
13．A 14．D 15．B 16．A
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】（1） 连、．是直角三角形，．
是长方体，，，又，
平面，．
又在中，，，，．--------6分
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系
则、、、，所以、，10分
则向量与
所成角满足．
异面直线与所成的角等于．14分
解法二：取的中点，连、．
，四边形为平行四边形，，等于异面直线与所成的角或其补角．----------------------------------------9分
，，，得，，，
，．
异面直线与所成的角等于．----------------------------14分
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】（1）（公里），
中，由，得（公里）-------------------2分
于是，由知，
快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．---------------------------------------6分
（2）在中，由，
得（公里），------------------------------------------------------------8分
在中，，由，
得（公里），-----------------------------------------------------10分
由（分钟）
知，汽车能先到达处．-----------------------------------------------------------14分
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】(1) ； ------------------------------------------------------6分
(2) 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分
若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分
当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是
，于是当或，即或时，
函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．
综上，．------------------------------------------14分
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
【解】(1)设，由于，
所以，
因为在椭圆上，于是，即，
所以.------------------------------------------------------------------4分
(2)设直线，，由
得，
于是，------------------------------------6分
．10分
(3)由于直线与轴的交点为，于是，
联立直线与椭圆的方程，可得
，
于是.-------------------------------------------------12分
因为直线，直线，
两式相除，可知
，
于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．16分
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
【解】答案：(1)因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即，
当时，，又因为，所以.--------------2分
又因为，于是数列是等差数列，
设的前项和为，由于，则，由于，
所以．---------------------------------------------------------------------------------4分
(2)数列的前n项和，数列的前项和．----5分
当时，；-----------6分
当时，
；----------7分
当时，
；------------------------8分
所以，其中．------------------------------------------------10分
(3)由(1)可知，.
若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，---------------------------------------11分
于是，
所以
，即，------------------------------------------13分
则对任意的，能整除，且.
由于当时，中存在多个质数，
所以只能取1或或------------------------------------------------14分
若，则，，于是
，符合；----------------------------15分
若，则，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分
若，则，于是，矛盾．-------------------------------17分
综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分
微信/支付宝扫码支付