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2017-2018学年第二学期普陀区高三数学质量调研
2018.4
考生注意:
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1. 抛物线的准线方程为_______.
2. 若函数是奇函数，则实数________.
3. 若函数的反函数为，则函数的零点为________.
4. 书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.
5. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则角的大小为________.
6. 若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_________.
7. 某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.
8. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），椭圆
的参数方程为（为参数），则直线与椭圆的公共点坐标为__________.
9. 设函数（且），若是等比数列（）的公比，且
，则的值为_________.
10. 设变量、满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数的取值范围是__________.
11. 设集合，，若，则实数的取值范围是 .
12. 点，分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足：，则的最大值为__________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为……………………………（ ）
第14题图
14. 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为 …………………………（ ）
15. 设是无穷等差数列的前项和（），则“存在”是
“该数列公差”的 ……………………………………………………………………………（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
16. 已知，，若，则对此不等式描叙正
确的是 …………………………………………………………………………………………………（ ）
若，则至少存在一个以为边长的等边三角形
若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形
若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形
若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
A
D
B
C
A1
B1
C1
D1
E
第17题图
如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，
且().
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
已知函数，.
（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；
（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示.已知是东西方向主干道边两个景点，是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，线路段上的任意一点到的距离都相等，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，以为原点建立平面直角坐标系.
（1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近，问如何设置站点的位置？
20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）若函数，求实数和的值；
（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；
（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.
21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；
②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
①； ②； ③
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.
普陀区2017学年第二学期高三数学质量调研评分标准（参考）
一、填空题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、选择题
13
14
15
16
三、解答题
17.（1）由，得， 又正四棱柱，则平面，
则 …………………………… 4分
.………………………… 6分
（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），……………… 2分
则，，，，
即， ………………………………………………… 4分
又异面直线与所成角的大小为，
则,……………………… 6分
化简整理得，又，即. ……………………………………… 8分
18.（1），…………………………2分
，…………………………4分
当时，则，
又函数在上递增，则，即，………………………7分
则实数的取值范围为. …………………………………………………8分
（2）若函数的图像关于点对称，则， ………………2分
即（），则，………………………………4分
由得，则点的坐标为. …………………………………………6分
19.（1）因为线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，所以线路段所在曲线是以定点，为左、右焦点的双曲线的左支，
则其方程为， …………………………………………………3分
因为线路段上的任意一点到的距离都相等，所以线路段所在曲线是以为圆心、以长为半径的圆，由线路段所在曲线方程可求得，
则其方程为， …………………………………………………5分
因为线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，所以线路段所在曲线是以定点、为上、下焦点的双曲线下支，
则其方程为， …………………………………………………7分
故线路示意图所在曲线的方程为. ……………………………………8分
（2）设，又，则，
由（1）得，即，………………………………3分
则，即当时，，
则站点的坐标为，可使到景点的距离最近.……………………6分
20．（1）由得，对恒成立，
即对恒成立，则，……………………2分
即. ……………………………………………………………………………4分
（2）当时，，……………………………2分
当时，即，
由得，则，……………………3分
当时，即，
由得，则， ……………………4分
当时，即，
由得， …………………………………………………5分
综上得函数在闭区间上的值域为. ……………………………………6分
（3）（证法一）由函数的值域为得，的取值集合也为，
当时，，则，即.……………………2分
由得，
则函数是以为周期的函数. …………………………………………………………3分
当时，，则，即.……………………5分
即，则函数是以为周期的函数.
故满足条件的函数为周期函数. ………………………………………………………6分
（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，
当时，对，有，
对，有，则不可能；
当时，即，，
由的值域为得，必存在，使得，
仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.
21. （1）①③是双底数列，②不是双底数列；……………………………………………4分
（2）数列当时递减，当时递增，
由双底数列定义可知，解得，……………………………………………2分
当时，数列成等差，，
当时，
， ………………………………………5分
综上，.……………………………………………………6分
（3），
，
， ……………………………………2分
若数列是双底数列，则有解（否则不是双底数列），
即 ，………………………………………………………………………3分
得或或或
故当时，，
当时，；当时，；当时，；
从而 ，数列不是双底数列；
同理可得：
当时， ，数列不是双底数列；
当时， ，数列是双底数列；
当时， ，数列是双底数列；
…………………………………………………………………………………………………7分
综上，存在整数或，使得数列为双底数列.…………………………8分
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