www.ks5u.com
高三数学试题（理科）
一、选择题
1. 已知集合A={x|y=lg(1-x)}，B={y|}，则
A． B．
C． D．
【答案】D
2.下面是关于复数的四个命题：；；；.其中真命题为( B )
A. B. C. D.
3.已知，则( C )
A. B. C. D.
4. 已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
【答案】C
5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( C )
A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
6. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则[来源:学科网] ， 。）（ B ）
A．4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
7.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( C )
A. B．2 C. D.
8.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
8. 设函数，，若实数满足，则（ ）D
A． B． C． D．
9.设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作AB，AC的垂线交于，若到直线的距离不小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
10.
11. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ B ）
A． B．2 C．8 D．6
12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ B ）
A．B．C．D．
二、填空题
13.已知非零向量的夹角为，且，则 .
14.若满足，则的最大值为 .2
15.甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9、0、2、1、5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为 .80
16.设数列是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的总有两个不同的根，则的通项公式为___________．
三、解答题
17. 的内角的对边分别为，面积为，已知.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围.
解：（1），由已知得：，
化简得：，，，
（2）在中，由正弦定理得：
，
记周长为，
化解得：
，周长
综上所述：周长的取值范围.
18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角,点为线段的中点，点在线段上．
（Ⅰ）平面平面；
（Ⅱ）设平面与平面所成二面角的平面角为，
试确定点的位置，使得．
解：（Ⅰ）∵，，∴，又，∴平面，-----3分
又平面，∴平面平面． ………………5分
（Ⅱ）过作交于点，则由平面平面知，平面，故两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ………………7分
∵平面，,
则，，，，又为的中点，设，则，，
，．…………8分
设平面的法向量为，
则∴
取，可求得平面的一个法向量，…………9分
设平面的法向量为，则
所以取． …………10分
∴，解得
∴当时满足． ………………12分
19.某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，）的函数解析式；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望.
解：（I）当时，---2分
当时，------------4分
所以------------------------5分
（II）由（1）得--------------------------6分
-----------------------7分
-------------9分
的分布列为
--12分
20.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，为分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且的周长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于不同两点，为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）∵ ∴
又，所以椭圆方程是 …………………………4分
（Ⅱ）设N(x,y)，AB的方程为
由 整理得.
由，得.
∴
则,
由点N在椭圆上，得化简得…① ………8分
又由即
将，代入得
化简，得则,∴ ②
由①，得 ,联立②，解得
∴或 ………………………12分
21.已知函数在处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）函数，若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.
解：（Ⅰ）∵∴
∵切线与直线垂直，∴∴………………2分
（Ⅱ）∵
∴………………………………3分
由题知在上有解
∵ ∴设
而，所以要使在上有解，则只需
即 ，所以的取值范围为.………………………………5分
（Ⅲ）∵
令 ， 得
∵是函数的两个极值点 ∴是的两个根
∴，…………………………………………6分
…………8分
令，则
∵ ∴
又，所以， 所以
整理有，解得
∴…………………………………………11分
而 ，所以在单调递减
故的最小值是.…………………………12分
22.（本题满分10分） 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点，倾斜角为．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，将圆锥曲线C的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，到到曲线写出
标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求的值．
解：（Ⅰ）l经过定点，倾斜角为
直线l的参数方程为（为参数）……………………2分
，且，
圆锥曲线C的标准方程为 …………………………………………4分[来源:Z§xx§k.Com]
（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得
①…………………………………………………………6分
设是方程①的两个实根，则,…………………………………………8分
23.已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
解：（Ⅰ）
的解集为.
（Ⅱ）
当时，，令
当且仅当时，，
当时，依题意知，
综上所述，的最小值为3.
微信/支付宝扫码支付