石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知命题：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.函数的部分图像可能是（ ）
5.已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.若函数，分别是定义在上的偶函数，奇函数，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.
为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为 ．
14.设等差数列的前项和为，若，，则公差 ．
15.在中，，其面积为3，设点在内，且满足，则 ．
16.对，，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值．
18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣
没兴趣
合计
男
55
女
合计
（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
附表：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值．
20.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于，两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程．
21.设函数．
（1）求证：当时，；
（2）求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
（1）写出曲线的参数方程；
（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集.
（1）求集合；
（2）若，，求证：.
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）理科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)由已知及正弦定理得：，
，
(2)
又
所以，．
18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
根据列联表中的数据，得到
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。
（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，
由题意知，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
，
.
19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
（2）设BC中点为,连接，
，又面面，且面面，
所以面。
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，
可得
所以由题得，解得.
所以
设是平面的法向量，则，即，
可取.
设是平面的法向量，则，即，
可取.
则， [来科网KS5U]
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）设，则，
，，
，，即轨迹的方程为.
（II）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，
由，消去可得：，
设，，，
，，
即，
，即
，，即，
，
到直线的距离，
，解得，
直线的方程为或．
法2：（Ⅱ）设,AB的中点为
则
直线的方程为，
过点A,B分别作，因为为AB 的中点，
所以在中，
故是直角梯形的中位线，可得，从而
点到直线的距离为：
因为E点在直线上，所以有，从而
由解得
所以直线的方程为或．
21. 解析：(1)当时，等价于，
构造函数,.则，
记，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
于是，，即当时，，为上的增函数，所以，，即.
于是，当时，.
(2)由(1)可知，当时，.于是，.
所以，.解不等式，可得，
取.则对任意给定的正数，，当时，有，
即.
22解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，
整理得，曲线的参数方程（为参数）．
（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），
将参数方程带入得
整理得.
，，
．
23.解:（1）
当时，，由解得，；
当时，，恒成立，；
当时，由解得，
综上，的解集
（2）
由得
.
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