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芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题
理科数学
一、 第Ⅰ卷（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
(A) [-2，-1] (B) [-1，2) (C) [-1，1] (D) [1，2)
2．设复数，则下列命题中错误的是
(A) (B)
(C)在复平面上对应的点在第一象限 (D)的虚部为
3．若满足约束条件则的最大值为
(A) 2 (B) 6 (C) 7 (D) 8
4．若圆锥曲线的离心率为，则
(A) (B) (C) (D)
5．芜湖高铁站芜湖至地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A) (B) (C) (D)
6．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
7．已知是定义在上偶函数，对任意都有且，则的值为
(A)2 (B) 3 (C)4 (D)5
8．某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
(A) (B) (C) (D)
9．已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是
(A)函数在区间上有最小值 (B) 函数的一条对称轴为
(C)函数在区间上单调递增 (D) 函数的一个对称点为
10．设，，均为实数，且，，，则
(A) (B) (C) (D)
11．已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为
(A) (B) (C) (D)
12．已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量的夹角为，，，则=_______．
14．已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．
15．在三棱锥中，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．
16．已知的内角的对边分别为，若，则最小值是_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为.若，且．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和．
18. （本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19. （本小题满分12分）
某市疾控中心流感监测结果显示，自年月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知位同学中有位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测；
（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
（2）表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
20．（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为．已知点在抛物线上，点在上，是边长为4的等边三角形．
（1）求的值；
（2）若直线是过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过作的垂
线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值．
21．（12分）已知函数．曲线在处切线的斜率为，（为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线和曲线交于两点（在之间），且，求实数
的值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）记的最小值为，已知实数，，都是正实数，且，
求证：．
芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题答案
数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 61 15． 16．
三、解答题
17【解析】（1）由，可得．………2分
即公比，………4分，
又，故．………6分
（2），………8分
．………12分
18【证明】（1）过点做交于，因为面 ，，
所以，故，………2分
又因为，所以，故，
因为，所以，又因为，所以面，
故．………5分
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，
，
设面的法向量为， 则令，
得； ………7分
设面的法向量为，则令
得；………9分
………11分
面与面所成锐二面角的余弦值为．………12分
19【解析】（1）设分别表示依方案甲需化验为第次； 表示依方案乙需化验为第次；
……4分
表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．
，………6分
（2）的可能取值为．的可能取值为．
（次），………8分
∴（次）
∴故方案乙更佳 ．………12分
20【解析】（1）由题意知 ，则．设准线与轴交于点，则，
又是边长为4的等边三角形， ，所以，即．………4分
（2）设直线的方程为，设，
联立得，则，，………6分
，………7分
，同理得，………8分
则四边形的面积
， ………10分
令，
是关于的增函数，
故，当且仅当时取得最小值． ………12分
21【解析】（1）因为，所以 ，………2分
则，得． ………4分
（2），，设函数，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，则． ………7分
设函数，，令在为减函数，又因为，则当时，，即，为增函数，则当时，，即，为减函数，所以，………11分
综上所述，，即．………12分
22．【解析】（1）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程为两边同乘得即．………5分
（2）将曲线的参数方程代入曲线得， 设对应的参数为，由题意得，且在之间，则，
解得………10分
23. 【解析】（1）
或或，
解得或．
综上所述，不等式的解集为 ……………5分
（2）由（时取等号）
.即，从而，
…………………10分
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