题14 高考数学仿真押题试卷（十四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则等于
A．， B． C．， D．
【解析】解：由，
又，全集，所以．
所以，．
【答案】．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
【解析】解：，
则，
【答案】．
3．设 是公差为的等差数列，是前项的和，若，，成等比数列，则
17
A．2 B． C． D．
【解析】解： 是公差为的等差数列，是前项的和，，，成等比数列，
，即，
解得．
【答案】．
4．若变量，满足约束条件，则的最大值是
A．2 B．4 C．7 D．8
【解析】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：
目标函数，
，，，，
故的最大值是7，
【答案】．
5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
A． B． C． D．
【解析】解：双曲线的离心率为，
17
则，令，，则，
则双曲线的渐近线方程为，
即为，
【答案】．
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为
A． B． C．4 D．5
【解析】解：按照程序框图依次执行为，；
，；
，；
，；
，，退出循环，输出．
【答案】．
17
7．已知函数，则定积分的值为
A． B． C． D．
【解析】解：，
其中，
其中表示以为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故，
故，
【答案】．
8．函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为
A． B． C． D．
【解析】解：相邻两支图象与坐标轴分别变于点，
函数的周期，则，
17
此时，
又，
得，即，
，
当时，，
则，
与的对称中心相同，
与的交点关于同一个对称中心对称，
由，，
得，，
，，
当时，，即两个好的对称中心为，，
由图象知两个函数只有两个交点，
则，，
【答案】．
9．已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面，上取三点，，，其中
17
为侧面的对角线上一点（与对角线端点小重合），，为侧面的一条对角线的两个端点．若以线段为直径的圆过点，则的最小值为
A． B． C．4 D．2
【解析】解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为2的正方形，且高为，如图所示；
由题意知，为圆的直径，则的最小值为，
此时为直角三角形，的最小值为．
【答案】．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，直线与抛物线的准线交于，若，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【解析】解：抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，
可得，，抛物线的准线方程为，的横坐标为，
设，由，
17
可得，解得，
可得焦点为，，
由双曲线的定义可得，
可得，，
则双曲线的方程为．
【答案】．
11．某观察者站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为
A．
B．
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C．
D．
【解析】解：根据小车从点出发的运动轨迹可得，视角的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，
【答案】．
12．定义，已知，为函数的两个零点，若存在整数满足，则，的值
A．一定大于 B．一定小于 C．一定等于 D．一定小于
【解析】解：由题意可知，，，
由根与系数的关系可得：，，
当时，
有，
即，
所以，
所以，
因为，
则，的值一定小于，
【答案】．
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第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为0.8，若连续射击10次，记击中气球的次数为，则 1.6 ．
【解析】解：由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为0.8，若连续射击10次，记击中气球的次数为，
可得，
所以．
故答案为：1.6．
14．若实数，满足约束条件，则的最大值是 9 ．
【解析】解：作出实数，满足约束条件对应的平面区域如图：
由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，
直线，的截距最小，此时最大，
由，解得解得．
故答案为：9．
17
15．正四面体的体积为，则正四面体的外接球的体积为 ．
【解析】解：如图，
设正四面体的棱长为，过作，
设等边三角形的中心为，则，
，
，即．
再设正四面体的外接球球心为，连接，
则，即．
正四面体的外接球的体积为．
故答案为：．
16．已知函数，若在区间，上单调递增，则的最小值是 ．
【解析】解：函数，若，
在区间，上单调递增，
，可得，，，
可得，，．
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所以的最小值为：．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1）因为：，
所以：．
由正、余弦定理得．
因为，，
所以，解得：．
（2）由余弦定理得．
由于，
所以．
故．
18．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差．
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【解析】解：（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”， 表示事件“日销售量低于50个”
表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此，
，
（B），
（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，
随机变量的分布列为
0
1
2
3
0.064
0.288
0.432
0.216
因为，
所以期望，
方差．
19．如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值．
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【解析】（1）证明：是圆的直径，，
平面，平面，
，又，
平面，
，，
四边形是平行四边形，，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）当点为半圆的中点时，，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则，0，，，，，，0，，，，，
，，，，0，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，平面的法向量为，，，
则，，即，，
令得，0，，令得，1，．
．
二面角是钝二面角，
二面角的余弦值为．
17
20．已知椭圆的离心率为，且过点，．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率依次为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程是
（2）当变化时，为定值，证明如下：
由得，．
设，，，．则，
直线、的斜率依次为，，且，
，得，
将代入得：，
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经检验满足△．
21．设函数，，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，讨论函数与图象的交点个数．
【解析】解：（1）的定义域是，，
，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在，递增；
（2）与图象的交点个数，
即函数的零点个数问题，
，
令，解得：，令，解得：或，
在递减，在递增，在递减，
（1），
和轴有1个交点，
即函数与图象的交点个数是1个．
选做题：（本小题满分10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．[选修4-4：极坐标系与参数方程]
22．已知直线为参数），曲线为参数）．
（Ⅰ）设与相交于，两点，求；
（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
【解析】解：的普通方程为，的普通方程为，
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联立方程组，解得交点坐标为，，
所以；
曲线为参数）．
设所求的点为，，
则到直线的距离
当时，取得最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设．
（1）解不等式；
（2）若存在实数满足，试求实数的取值范围．
【解析】解（1），
由图象可得的解集为
（2）函数，的图象是经过点的直线，
由图象可得
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