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2019届高三下学期第三次高考模拟卷
数学试题(文科)
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.设，则
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
3.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，设，，，则
A. B. C. D.
4.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是
A. 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高
C. 从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
5.执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为
A. 1 B. －1 C. D. －
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D. 10
7.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则
A. 1 B. C. D.
9.已知数列的前项和为，，且，则所有满足条件的数列中，的最大值为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
10.函数的图像大致为
111.已知函数，，其中，，若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则
A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数
C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数
12.若对，，有，函数，则的值
A. 0 B. 4 C. 6 D. 9
第II卷 非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是__________．
14.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．
15.已知向量夹角为 ，且；则 .
16.若函数，，则__________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本小题满分12分）
在中，角、、对应的边分别为、、，若.
（1）求角；
（2）若且时，求的面积.
18. （本小题满分12分）
经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质
量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（1）按分层抽样的方法从质量落在，的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有黄桃均以20元/千克收购；
B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
（参考数据：）
19. （本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面ABC，且， ．
证明：为直角三角形；
设A在平面PBC内的射影为D，求四面体ABCD的体积．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，当取得最小值时，求直线的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数.
当时，恒成立，求的值；
若恒成立，求的最小值.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．
求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．
23. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数.
（1）当时，若的最小值为3，求实数的值；
（2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围.
参考答案
1.C 2.A 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11.A 12.C
13. 14.7 15. 16.
17.（1）；（2）.
解：（1）在中，由正弦定理得：
即
所以（不合题意舍去）或且
得：.
（2）由（1）知及得：
得：
即
整理得：
∵∴
所以即，
在中由正弦定理得：即
所以 .
18.（1）（2）B
解：（1）由题得黄桃质量在和的比例为，
∴应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.
记抽取质量在的黄桃为，，，质量在的黄桃为，，
则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为.
（2）方案好，理由如下：
由频率分布直方图可知，黄桃质量在的频率为
同理，黄桃质量在，，，，的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05
若按方案收购：
∵黄桃质量低于350克的个数为个
黄桃质量不低于350克的个数为55000个
∴收益为元
若按方案收购：
根据题意各段黄桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为 （元）
∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.
19.解：（1），，.
.
平面，.
，平面.
又平面，.
故为直角三角形.
（2）为线段的中点，证明如下，
，.
又平面，.
，平面.
取的中点，平面平面.
，面积为2.
四面体的体积为.
20.（1）；（2）最小值，直线的方程为.
解：（1）由的面积可得，即，∴．①
又椭圆过点，∴．②
由①②解得，，故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，
由弦长公式可得．
将代入椭圆方程，得，
由判别式，解得．
由直线和圆相交的条件可得，即，也即，
综上可得的取值范围是．
设，，则，，
由弦长公式，得．
由，得．
∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为．
21.（1）；（2）.
解：（1）由，得，则.
∴.
若，则，在上递增.
又，∴.当时，不符合题意.
② 若，则当时，，递增；当时，，递减.
∴当时，.
欲使恒成立，则需
记，则.
∴当时，，递减；当时，，递增.
∴当时，
综上所述，满足题意的.
（2）由（1）知，欲使恒成立，则.
而恒成立恒成立函数的图象不在函数图象的上方，
又需使得的值最小，则需使直线与曲线的图象相切.
设切点为，则切线方程为，即..
∴ .
令，则.
∴当时，，递减；当时，，递增.
∴.
故的最小值为0.
22.（1），（2）
解：（I）将代入，整理得，
所以直线的普通方程为.
由得，
将，代入，
得，
即曲线的直角坐标方程为.
（II）设，的参数分别为，.
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，
化简得，
由韦达定理得，
于是.
设，则
则.
所以点到原点的距离为.
23.(1) 或4.(2) .
解：（1）当时， ，
因为的最小值为3，所以，解得或4.
（2）当时， 即，
当时， ，即，
因为不等式的解集包含，所以且，
即，故实数的取值范围是.
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