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2019届高三下学期第三次高考模拟卷
数学试题(理科)
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于x=对称，则 =
A.- B. - C. D.
4.在等比数列中，已知，则的值为
A. B. C. D.
5.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在
以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是
A. 这天中有天空气质量为一级 B. 这天中日均值最高的是11月5日
C. 从日到日，日均值逐渐降低 D. 这天的日均值的中位数是
6.已知函数若，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知向量， ，若，则与的夹角为
A. B. C. D.
8.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则
A. P1•P2＝ B. P1＝P2＝ C. P1+P2＝ D. P1＜P2
9.某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为的直角梯形，则该多面体的体积为
A. 1 B. C. D. 2
10.设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H.若H到x轴的距离为，则C的离心率为
A. B. C. D.
11.函数的图像大致为
12.已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒成立．则实数m
A. 有最大值 B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值
第II卷 非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若的展开式的常数项是，则常数的值为__________．
14.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的最大值是___．
15.已知满足不等式，则的最大值为__________．
16.若函数在上仅有一个零点，则__________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17. （本小题满分12分）
△ABC的内角A、B、C所对的边分别为且
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面积为且求△ABC外接圆的面积。
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.
（1）若平面，证明：；
（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19. （本小题满分12分）
2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（1）求的最小值；
（2）若，求证：直线过定点.
21. （本小题满分12分）
设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在零点，证明：.
请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），已知曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线与曲线交点的极坐标.
23. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数.
（1）若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；
（2）已知为集合中的最大正整数，若，，，且，求证：
理科数学参考答案（三模）
1.D 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.C 11.B 12.A
13. 14.25 15.2 16.
17.（1）；（2）
解（1）∵.
∴由正弦定理得
∴，∵∴
∴，又∵，
（2）由（1）知，∴由余弦定理，
又，∴，又，∴
又∵，∴，.
18.解（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.
（2）由已知条件可知，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，，.
假设在棱上存在点，设，
得，.
记平面的法向量为，则
即取，则，
所以.
要使直线与平面所成角的大小为，
则，即，解得.
所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.
此时.
19.(1) 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析
试题解析：（1）根据图3和表1得到列联表：
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.
（3）由表1知：
一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；
二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；
三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.
由已知得：随机变量的取值为： ， ， ， ， .
，
，
，
，
.
∴随机变量的分布列为：
240
300
360
420
480
∴ .
20.解：（1）设直线 的方程为，由题意， ，
由方程组，得，
由题意，所以，
设，
由根与系数的关系得，所以，
由于为线段的中点，因此，
此时，所以所在直线的方程为，
又由题意知，令，得，即，
所以，当且仅当时上式等号成立，
此时由得，因此当且时， 取最小值.
（2）证明：由（1）知所在直线的方程为，
将其代入椭圆的方程，并由，解得，
又，
由距离公式及得
， ，
，
由，得，
因此直线的方程为，所以直线恒过定点.
21.（1）在上是增函数，在上是减函数； （2）.
解：（1）函数的定义域为，
因为，所以．
所以当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
所以在上是增函数，在上是减函数．
（2）证明：由题意可得，当时，有解，
即有解．
令，则．
设函数，所以在上单调递增．
又，所以在上存在唯一的零点．
故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．
当时，；当时，．
所以在上的最小值为．
又由，可得，所以，
因为在上有解，所以，即．
22.（1）（或）. .（2）.
解（1）∵，∴，即，
又，∴，∴或，
∴曲线的普通方程为（或）.
∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.
（2）由得，
∴（舍去），，
则交点的直角坐标为，极坐标为.
23.解：（1）由已知得
则，
由于，使不等式成立，所以，
即
（2）由（1）知，则
因为，，，所以，，，
则，（当且仅当时等号成立），
，（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
则（当且仅当时等号成立），
即.
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