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唐山一中2019届高三冲刺卷（四）
数学文科试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
卷I（选择题 共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 不等式成立的充分不必要条件是( )
A. B. C.或 D.
2. 已知数列{an}中，，，，，，，，则数列{an}的前n项和Sn =（ ）
A． B． C. D．
3. 若函数的图象（部分)如下图所示，则和的取值是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 已知点是所在平面内一点，且满足，若，则=（ ）
A. B.1 C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D. -
7. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（ ）
A. n=n+1和6 B. n=n+2和6 C. n=n+1和8 D. n=n+2和8
8. 过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则=（ ）
A．4 B．5 C. D．7
10.双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
11. 抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线E上的两个动点，且满足．过弦AB的中点M作抛物线E准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( )
A． B．1 C． D．2
12.如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为，，
若，则满足条件的直线l（ ）
A．有1条
B．有2条
C．有3条
D．有4条
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为____的学生.
14. 设x，y满足约束条件，则的取值范围为 .
15.已知函数的极小值点为，则的图像上的点到直线的最短距离为 .
16.已知四面体中，,二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17. （本小题满分12分）在数列{an}中，，，且对任意的n∈N*，都有.
（1）证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*都有，求实数m的取值范围.
18. （本小题满分12分） 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，D为AA1的中点， 点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上.
(1)求证：B1D⊥平面CBD；
(2)若△CBD是正三角形，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
19. （本小题满分12分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：
(1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？
(2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．
不了解
了解
总计
女性
a
b
50
男性
15
35
50
总计
p
q
100
附：K2= (n＝a＋b＋c＋d)
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： .
20. （本小题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，已知点A，B的坐标分别为．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是．记点P的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知直线AP，BP分别交直线于点M，N，轨迹在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．
21. （本小题满分12分） 已知为函数的一个极值点.
（1）求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；
（2）若方程有且只有一个实数根，求实数m的值.
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在极坐标系中，直线,曲线C上任意一点到极点O的距离等于它到直线l的距离.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)若P，Q是曲线C上两点，且,求的最大值.
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数x，t，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
唐山一中2019届高三冲刺卷（四）
数学文科答案
一.选择题
1-5ADDDC 6-10CDABC 11-12AD
二．填空题
13. _37 14. [－1，6] 15. 16.
三．解答题
17. 解：（Ⅰ）由可得．
又，，所以.
所以是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分
所以. …………………4分
所以. …………6分
（Ⅱ）因为.………8分
所以
. ………10分
又因为对任意的N*都有，所以恒成立，
即,即当时，. ………12分
18. (1)证明：设点在平面内的射影为，则，，且，因，所以.………………………2分
在中，，，则，
在中，，，则，
故，故.……………………………………………4分
因，故.……………………5分
(2) ，……………………………………………6分
由(1)得，故是三棱锥的高，………………………7分
是正三角形，，，………………………8分
，………………………9分
，………………………11分
故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为.…12分
19. 【解析】
(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A，
由已知得P(A)＝＝，所以a＝25，b＝25，p＝40，q＝60.
K2的观测值k＝≈4.167>3.841，
故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.
(2)由折线图中所给数据计算，得t＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，
故＝＝0.07，＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为＝0.07t.
故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的4.2倍.
20. （Ⅰ）设点坐标为，则
直线的斜率（）；直线的斜率（）．
由已知有（），化简得（）． 4分
故点的轨迹的方程为（）．（注：没写或扣1分）
（Ⅱ）设（），则． 5分
直线的方程为，令，得点纵坐标为； 6分
直线的方程为，令，得点纵坐标为； 7分
设在点处的切线方程为，
由得． 8分
由，得，
整理得．
将代入上式并整理得，解得， 9分
所以切线方程为．
令得，点纵坐标为． 10分
设，所以，
所以． 11分
所以．
将代入上式，，
解得，即． 12分
21. （1），．
．
∵ 为函数的一个极值点，
∴ ，经验证，符合题意
故，．
令，解得或．
∴ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
（2）方程，
整理得．因为，所以有
．
令，则．
令，，故在上是增函数．
∵ ，
∴ 当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
∴ ．
∵ 当或时，，
∴ 方程有且只有一个实数根时，实数．
22. 答案及解析：
解:(Ⅰ)设点是曲线上任意一点，则,即
(II) 设,则.
23. （1）当时，……………………1分
因为，所以或者或者…………3分
解得：或者，
所以不等式的解集为.…………………………5分
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，等价于…………………………………6分
因为，当且仅当时等号成立，
所以………………………………………7分
因为时，
函数单增区间为，单间区减为，
所以当时，……………………………9分
所以，
所以实数的取值范围.…………………………………………………………………10分
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